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परिचय


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शनिवार, 21 मार्च 2015

विभाजन - कलन विधि (Division Algorithm)

पूर्णांकों के विभाजन से संबंधित सिद्धांतों में एक आधारभूत सिद्धांत "विभाजन - कलन विधि" है | इस विधि से प्रायः हम सब परिचित है : यदि एक पूर्णांक a को किसी धनपूर्णांक b से विभाजित किया जाए, तो शेषफल (remainder) सदैव b से कम होता है | उदाहरण के लिए,  यदि 13 को 5 से विभाजित किया जाए, तो हमें शेषफल 3 प्राप्त होता है और इसे हम इस प्रकार व्यक्त करते हैं :
13 = 5 \times 2 + 3.
यहाँ हम संख्या 13 को  भाज्य (dividend), संख्या 5 को भाजक (divisor), संख्या 2 को भागफल (quotient) और संख्या 3 को शेषफल या शेष कहते हैं | अधिक व्यापक रूप में, यदि भाज्य a को भाजक b से विभाजित करने पर भागफल और शेष क्रमशः q और r हों, तो हम लिखते हैं :
a = bq + r.
क्या ऐसा करना किन्हीं भी संख्या - युग्म (a, b) के लिए संभव है ? हमारा अंतर्ज्ञान कहता है कि ऐसा करना सदैव संभव है, यदि भाजक b धनात्मक हो | निम्नलिखित प्रमेय इसी तथ्य को व्यक्त करता है |
 
प्रमेय (विभाजन - कलन विधि). यदि a और b दो पूर्णांक हों, और b > 0, तो अद्वितीय पूर्णांकों q और r का अस्तित्व होता है, जिससे कि 
a = bq + r, ~ 0 \leq r < b.
पूर्णांकों q और r को क्रमशः भागफल और शेषफल कहा जाता है | उल्लेखनीय है कि उपरोक्त प्रमेय में प्रतिबन्ध b > 0 को हटाया जा सकता है और व्यापक विभाजन - कलन विधि का कथन दिया जा सकता है |

इस प्रमेय की उपपत्ति और इस विषय से संबंधित अन्य जानकारी के लिए मूल आलेख विभाज्यता - सिद्धांत (The Theory of Divisibility) देखें |

(चैत्र शुक्ल पक्ष, प्रथमा, वि. सं. 2072)

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