क्या बिंदु अपरिभाषित है ?

ज्यामिति का आरंभ जिन तीन अवधारणाओं से होता है - वे हैं बिंदु, रेखा और समतल  की अवधारणाएँ. बिंदु क्या है ? बिंदु की क्या परिभाषा है ? इस प्रश्न का उत्तर प्रायः यह कहकर दिया जाता है कि बिंदु अपरिभाषित है. अर्थात, इसे परिभाषित नहीं किया जा सकता है. इसकी केवल कल्पना की जा सकती है या इसका केवल वर्णन किया जा सकता है. इसे क्यों नहीं परिभाषित किया जा सकता है ? - इस प्रश्न का उत्तर पाने से पहले हमें बिंदु का व्यावहारिक निरूपण समझना होगा.
एक पेंसिल की नोंक से कागज पर जो निशान बनता है, उसे हम बिंदु का एक निरूपण समझ सकते हैं. पेंसिल की नोंक जितनी पतली होगी, बिंदु का निरूपण उतना ही सटीक होगा. नीचे के चित्र में अलग - अलग मोटाई की नोंक वाले पेंसिल से बिंदु का निरूपण दिखाया गया है.

चित्र - 1: अलग - अलग पेंसिल से बिंदु का निरूपण

यदि हम और अधिक पतले नोंक वाले पेंसिल का प्रयोग करें, तो अंकित निशान का आकार और अधिक छोटा होगा. हम कुछ सीमा तक पेंसिल के नोंक को पतला बना सकते हैं और अत्यंत छोटे आकार का निशान कागज पर अंकित कर सकते हैं. परन्तु इससे छोटे निशान की कल्पना भी हम अपने मन में कर सकते हैं, भले ही हम उसे कागज पर अंकित न कर पाएँ. हम कितने भी छोटे आकार की कल्पना क्यों न करें - इस कल्पना का अंत नहीं होगा - हम निरंतर छोटे से छोटे निशानों की कल्पना करते चले जाएँगे. तब एक ही उपाय शेष रह जाता है - बिंदु को आकारहीन मान लेना. बिंदु का कोई आकार नहीं है. इस प्रकार यह दृश्य भी नहीं होना चाहिए. इसकी कोई लम्बाई या चौड़ाई भी नहीं हो सकती. तो क्या बिंदु को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है ? - "जिसका कोई आकार नहीं हो और जिसकी लम्बाई या चौड़ाई नहीं हों, वही बिंदु है." परन्तु इस परिभाषा में "जिसका" शब्द का क्या तात्पर्य है ? लंबाई और चौड़ाई का क्या अर्थ है ? बिंदु की इस परिभाषा में समस्या यहीं पर है. वस्तुतः लम्बाई और चौड़ाई को बिंदु और रेखा की अवधारणा के बिना परिभाषित नहीं किया जा सकता है. ध्यान दें कि चित्र - 1 में दिखाए गए निशान बिंदु नहीं हैं. वे निशान केवल बिंदु को समझाने के लिए और व्यवहार में ज्यामिति समझने के लिए प्रयुक्त किए जाते हैं. गणित में हमें कहीं - न - कहीं से शुरूआत करनी होती है, और जहाँ से हम शुरुआत करते हैं, उसे परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उसकी चर्चा पहली बार हो रही होती है. अतः हम ज्यामिति का आरंभ यह मान कर करते हैं कि हमें यह ज्ञात है कि बिंदु क्या है. इसी प्रकार, ज्यामिति में रेखा और समतल को भी प्राथमिक अवधारणा के रूप में ज्ञात माना जाता है. परन्तु बिंदु, रेखा और समतल के बीच अंतर्संबंधों को बताया जा सकता है. दो अलग - अलग बिंदु एक रेखा को पूर्णतः निर्धारित करते हैं. एक रेखा में अनंत बिंदु होते हैं. चित्र -2 देखें.

चित्र -2

इसी प्रकार तीन अलग - अलग बिंदु एक समतल को पूर्णतः निर्धारित करते हैं. एक समतल में अनंत रेखाएँ और अनंत बिंदुएँ होती हैं. नीचे का चित्र देखें.

चित्र -3