tag:blogger.com,1999:blog-88655398586464842252024-02-08T10:34:43.110+05:30गणिताञ्जलि !बहुभिर्प्रलापैः किम् , त्रयलोके सचरारे। यद्किंचिद्वस्तु तत्सर्वम् , गणितेन् बिना न हि॥
हिंदी में उच्च - स्तरीय गणित - लेखन का एक उद्यम......Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.comBlogger41125tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-19563023820108437122021-05-07T19:00:00.033+05:302021-05-08T21:13:30.812+05:30समान्तर अनुक्रम और समान्तर श्रेणी <p style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia;"><span style="color: #0b5394; font-size: large;"><i><b>गणित में किसी एक विशेष समस्या के हल हेतु प्रयुक्त धारणा अत्यधिक व्यापक समस्या को हल करने में महत्त्वपूर्ण भूमिका निभा सकते हैं. प्रस्तुत लेख इस बिंदु की स्पष्टता से व्याख्या करता है. इस लेख में हम देखेंगे कि कैसे एक समान्तर अनुक्रम से संबंधित समस्या को हल करने में प्रयुक्त धारणा व्यापक समान्तर अनुक्रम से संबंधित व्यापक समस्या के हल में उपयोगी सिद्ध होती है.</b></i></span></span></p><p><span style="font-family: georgia;"><span style="color: #0b5394; font-size: large;"><i><b><span></span></b></i></span></span></p><a name='more'></a>गणित में हमें प्रायः निम्नांकित प्रकार के अनुक्रम (sequence) देखने को मिलते हैं:<p></p><p style="text-align: justify;">\[1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots\]</p><p style="text-align: justify;">\[1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots\]</p><p style="text-align: justify;">\[2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots\]</p><p style="text-align: justify;">\[2, 5, 8, 11, 14, 17, \ldots\]</p><p style="text-align: justify;">\[\pi, \pi + 2, \pi + 4, \pi + 6, \ldots\]</p><p style="text-align: justify;">\[-5\pi, -4\pi, -3\pi, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots\]</p><p style="text-align: justify;">\[1 + \sqrt{2}, 1 + 2 \sqrt{2}, 1 + 3\sqrt{2}, \ldots\]</p><p style="text-align: justify;">हम देख सकते हैं कि उपरोक्त अनुक्रमों में, दो क्रमागत पदों के बीच समान अंतर हैं. इस प्रकार के विशेष अनुक्रमों को गणित में एक विशेष नाम दिया गया है: समान्तर अनुक्रम (arithmetic sequence). इस प्रकार के अनुक्रम को हम परिशुद्ध रूप में निम्न प्रकार से परिभाषित कर सकते हैं.<br /></p><p style="text-align: justify;">
समान्तर अनुक्रम वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं (real or complex numbers) का एक ऐसा अनुक्रम $\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{k-1}, a_k, \ldots\}$ है जिससे कि </p><p style="text-align: justify;">\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \cdots = a_k - a_{k-1} = \cdots.\]</p><p style="text-align: justify;">दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है जिसे दिए गए अनुक्रम का <i>सार्व अंतर</i> (<i>common difference)</i> कहा जाता है. यदि हम इस सार्व अंतर को $d$ से निरुपित करें, तो हम लिख सकते हैं कि<br /></p><p style="text-align: justify;">\[a_2 - a_1 = d\]</p><p style="text-align: justify;">जिससे हमें<br /></p><p style="text-align: justify;">\[a_2 = a_1 + d\]</p><p style="text-align: justify;">प्राप्त होता है. इसी प्रकार, <br /></p><p style="text-align: justify;">\[a_3 - a_2 = d\]</p><p style="text-align: justify;">जिससे हमें<br /></p><p style="text-align: justify;">\[a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d\]</p><p style="text-align: justify;">प्राप्त होता है. व्यापक रूप में, गणितीय आगमन की सहायता से हम प्रमाणित कर सकते हैं कि <br /></p><p style="text-align: justify;">\[a_n = a_1 + (n-1)d~\text{for}~n = 1, 2, 3, \ldots.\]</p><p style="text-align: justify;">उपरोक्त संबंध को ध्यान में रखते हुए, कभी-कभी गणित में समान्तर अनुक्रम को एक ऐसे अनुक्रम $\{a_1, a_2, a_3, \ldots\}$ की तरह परिभाषित किया जाता है जिससे कि $a_n = a_1 + (n-1)d$ for $n = 1, 2, 3, \ldots$. यहाँ पद $a_1$ को अनुक्रम का प्रथम पद (first term), $d$ को अनुक्रम का सार्व अंतर कहा जाता है और $a_n$ को अनुक्रम का $n$-वाँ पद कहा जाता है. इस प्रकार, समान्तर अनुक्रम का निर्माण अत्यंत आसान है: हम प्रथम पद $a_1$ और सार्व अंतर $d$ को नियत करते हैं और तत्पश्चात संबंध $a_n = a_1 + (n-1)d$ की सहायता से अन्य पदों को लिखते हैं. <br /></p><p style="text-align: justify;">टिप्पणी: समान्तर अनुक्रम को समूह (group) में भी परिभाषित किया जा सकता है. अमूर्त बीजगणित में समूह की अवधारणा से परिचित पाठक इसे अवश्य समझ पाएँगे. इस विषय पर हम यहाँ परिचर्चा नहीं करेंगे.</p><p style="text-align: justify;">एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: एक समान्तर अनुक्रम के परिमित संख्या में क्रमागत पदों का योग (शीघ्रता से) कैसे ज्ञात करें ? इस प्रश्न का उत्तर देने से पहले हम कुछ विशेष उदाहरणों पर विचार करेंगे. <br /></p><p style="text-align: justify;"><b>उदाहरण-$1$.</b> प्राकृत संख्याओं के अनुक्रम</p><p style="text-align: justify;">\[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, , 9, 10, 11,\ldots\]</p><p style="text-align: justify;">पर विचार करें.<br /></p><p style="text-align: justify;">योगफल $1 + 2 + 3 + \cdots + 50$ क्या है?</p><p style="text-align: justify;">उपरोक्त योगफल ज्ञात करने की एक विधि यह है कि हम एक-एक करके के पदों का योग करें. परन्तु यदि योगफल में पदों (योज्य) की संख्या बहुत ज्यादा हों, जैसे कि $1000$ या $50000$ या $100000000$, इत्यादि, तो इस विधि से परिकलन करना कठिन कार्य होगा. हम कोई अन्य विधि खोजने का प्रयास करते हैं. पहले हम <br /></p><p style="text-align: justify;">\[S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 48 + 49 + 50.\] </p><p style="text-align: justify;">लिखते हैं. अब इसे हम निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं:<br /></p><p style="text-align: justify;">\[S = 50 + 49 + 48 + \cdots + 3 + 2 + 1.\]</p><p style="text-align: justify;">हमने केवल योज्यों (summands) को विपरीत क्रम में लिखा है. प्रेक्षण करने पर हम पाते हैं कि पहले व्यंजक के प्रथम पद और दूसरे व्यंजक के प्रथम पद का योगफल $1 + 50 = 51$ है. इसी प्रकार, दोनों व्यंजकों के द्वितीय पदों का योग भी $2 + 49 = 51$ है. व्यापक रूप में, पहले व्यंजक के किसी पद का योग दूसरे व्यंजक के संगत पद के साथ लेने पर हमें समान उत्तर $51$ प्राप्त होता है. इस प्रकार, यदि हम दोनों व्यंजकों का योग लें, तो हमें प्राप्त होगा:</p><p style="text-align: justify;">\[2S = \underbrace{51 + 51 + 51+ \cdots + 51 + 51 + 51}_{50~\text{times}}.\]</p><p style="text-align: justify;">यह योगफल ज्ञात करना आसन है, क्योंकि यहाँ योज्य समान हैं. हम आसानी से ज्ञात कर सकते हैं कि<br /></p><p style="text-align: justify;">\[2S = 50 \times 51.\]</p><p style="text-align: justify;">ध्यान दें कि हमने कितनी आसानी से $2S$ का मान ज्ञात कर लिया! परन्तु हमें $S$ का मान ज्ञात करना है.यह अत्यंत आसान है. हम $2S के मान $2$ से विभाजित करके आसानी से $S$ का मान ज्ञात कर सकते हैं.अतः,</p><p style="text-align: justify;">\[S = \frac{50 \times 51}{2} = 1275.\]</p><p style="text-align: justify;"><b>उदाहरण-$2$.</b> प्राकृत संख्याओं के अनुक्रम <br /></p><p style="text-align: justify;">\[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, , 9, 10, 11,\ldots\]</p><p style="text-align: justify;">पर विचार करें. योग $1 + 2 + 3 + \cdots + n$ का मान क्या है?</p><p style="text-align: justify;">यहाँ हम प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करना चाहते हैं. इससे पहले का उदाहरण इस उदाहरण की एक विशेष स्थिति हैं, जहाँ $n =
50$. क्या आप पहले उदाहरण के सदृश इस योग का मान ज्ञात कर सकते हैं? प्रयास करके देखें. </p><p style="text-align: justify;">हम <br /></p><p style="text-align: justify;">\[S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-2) + (n-1) + n\] </p><p style="text-align: justify;">लिखते हैं. इस योग $S_n$ को हम निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं: <br /></p><p style="text-align: justify;">\[S_n = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 3 + 2 + 1.\]</p><p style="text-align: justify;">पुनः, ध्यान दें कि पहले व्यंजक के किसी पद का योग दूसरे व्यंजक के संगत पद के साथ लेने पर हमें सदैव $n + 1$ प्राप्त होता है.अतः, यदि हम दोनों व्यंजकों का योग लें, तो हमें <br /></p><p style="text-align: justify;">\[2S_n = \underbrace{(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + \cdots + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) }_{n~\text{times}}\]</p><p style="text-align: justify;">प्राप्त होगा.<br /></p><p style="text-align: justify;">यह योगफल ज्ञात करना आसन है, क्योंकि यहाँ योज्य समान हैं. हम आसानी से ज्ञात कर सकते हैं कि</p><p style="text-align: justify;">\[2S_n = n(n+1).\]</p><p style="text-align: justify;">हम $2S_nS के मान $2$ से विभाजित करके आसानी से $S_n$ का मान ज्ञात कर सकते हैं.अतः,</p><p style="text-align: justify;">\[S_n = \frac{n(n +1)}{2}.\]</p><p style="text-align: justify;">यह प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं के योगफल का सूत्र है. ध्यान दें कि किस प्रकार किसी विशेष स्थिति में प्रयुक्त धारणा अत्यधिक व्यापक स्थिति में भी पूर्ण रूप से समस्या के हल में सहायक सिद्ध हुई. उपरोक्त सूत्र में $n == 50$ प्रतिस्थापित करने पर हमें वही उत्तर प्राप्त होगा, जो पहले उदाहरण में प्राप्त हुआ था. <br /></p><p style="text-align: justify;">इस लेख आरम्भ में उद्धृत एक अन्य अनुक्रम $\{1, 3, 5, 7, 9, \ldots\}$ पर विचार करते हैं. हम देख सकते हैं कि इस समान्तर अनुक्रम का सार्व अंतर $2$ है. क्योंकि प्रथम पद
$a_1 = 1$ है, हम $n$-वें पद के सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं और लिख सकते हैं कि $a_n = 1 +
2(n-1) = 2n - 1$. इस प्रकार, प्रथम $n$ विषम प्राकृत संख्याएँ (odd natural numbers) $\{1, 3,
5, \ldots, 2n-5, 2n -3, 2n-1\}$ हैं.<br /></p><p style="text-align: justify;"><b>उदाहरण-$3$.</b> प्रथम $n$ विषम प्राकृत संख्याओं का योग क्या है? अर्थात,</p><p style="text-align: justify;">\[1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)\]</p><p style="text-align: justify;">का मान क्या है?</p><p style="text-align: justify;">हम पूर्व में प्रयुक्त विधि का प्रयोग कर सकते हैं. पहले हम<br /></p><p style="text-align: justify;">\[T_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-5) + (2n-3) + (2n-1)\] </p><p style="text-align: justify;">लिखते हैं. इस योग $T_n$ को हम निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं:<br /></p><p style="text-align: justify;">\[T_n = (2n-1) + (2n-3) + (2n-5) + \cdots + 5 + 3 + 1.\]</p><p style="text-align: justify;">पुनः, ध्यान दें कि पहले व्यंजक के किसी पद का योग दूसरे व्यंजक के संगत पद
के साथ लेने पर हमें सदैव $2n $ प्राप्त होता है.अतः, यदि हम दोनों
व्यंजकों का योग लें, तो हमें </p><p style="text-align: justify;">\[2T_n = \underbrace{2n + 2n + 2n + \cdots + 2n + 2n + 2n}_{n~\text{times}}.\]</p><p style="text-align: justify;">प्राप्त होगा. यह योगफल ज्ञात करना आसन है, क्योंकि यहाँ योज्य समान हैं. हम आसानी से ज्ञात कर सकते हैं कि</p><p style="text-align: justify;">\[2T_n = 2n^2.\]</p><p style="text-align: justify;">हम $2T_nS के मान $2$ से विभाजित करके आसानी से $T_n$ का मान ज्ञात कर सकते हैं.अतः,</p><p style="text-align: justify;">\[T_n = n^2.\]</p><p style="text-align: justify;">यह प्रथम $n$ विषम संख्याओं के योगफल का व्यापक सूत्र है. कई पाठकगण इस सूत्र से परिचित होंगे.</p><p style="text-align: justify;">अब आप निम्नलिखित प्रश्न को हल करने का प्रयास कर सकते हैं.<br /></p><p style="text-align: justify;"><b>प्रश्न-$1$.</b> प्रथम $n$ सम संख्याओं का योगफल क्या है?</p><p style="text-align: justify;">उपरोक्त धारणा का प्रयोग किसी भी समान्तर अनुक्रम के परिमित संख्या में क्रमागत पदों का योगफल ज्ञात करने में किया जा सकता है. मान लीजिए कि $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ एक समान्तर अनुक्रम $\{a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots\}$ के प्रथम $n$ पद हैं.हम</p><p style="text-align: justify;">\[S = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n\]</p><p style="text-align: justify;">ज्ञात करना चाहते हैं. यदि इस अनुक्रम का सार्व अंतर $d$ हों, तो हम लिख सकते हैं कि </p><p style="text-align: justify;">\[S = a_1 + (a_1 + d) + \ldots + (a_1 + (n-2)d) + (a_1 + (n-1)d).\]<br /></p><p style="text-align: justify;">उपरोक्त व्यंजक को हम निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं:<br /></p><p style="text-align: justify;">\[S = (a_1 + (n-1)d) + (a_1 + (n-2)d) + \ldots + a_2 + a_1. \]</p><p style="text-align: justify;">अब, दोनों व्यंजकों का योग लेने पर हमें प्राप्त होता है:<br /></p><p style="text-align: justify;">\[2S = n[2a_1 + (n-1)d)].\]</p><p style="text-align: justify;">अतः, <br /></p><p style="text-align: justify;">\[S = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d].\]</p><p style="text-align: justify;">यह एक समान्तर अनुक्रम के प्रथम $n$ पदों के योगफल का व्यापक सूत्र है. इस सूत्र को हम अन्य रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं. हम लिख सकते हैं कि</p><p style="text-align: justify;">\[S = \frac{n}{2}[a_1 + (a_1 + (n-1)d)].\]</p><p style="text-align: justify;">क्योंकि $a_n = a_1 + (n-1)d$, हमेंप्राप्त होता है:<br /></p><p style="text-align: justify;">\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n).\]</p><p style="text-align: justify;">इस प्रकार किसी समान्तर अनुक्रम के प्रथम $n$ पदों का योगफल उस अनुक्रम के प्रथम और $n$-वें पद के योगफल और $n$ के गुणनफल का आधा होता है. उदाहरण-$2$ और उदाहरण-$3$ के सूत्रों को आसानी से इस व्यापक सूत्र से निगमित किया जा सकता है. उदाहरण-$2$ में $a_1 = 1$, $d = 1$ और $a_n = n$ हैं, जबकि उदाहरण $3$ में
$a_1 = 1$, $d = 2$ और $a_n = 2n - 1$ हैं. हम इन मानों को किसी भी एक सूत्र में प्रतिस्थापित करके वांछित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं.</p>किसी समान्तर अनुक्रम के पदों के योग को <i>समान्तर श्रेणी </i>(<i>arithmetic series)</i> कहा जाता है. हम ऊपर किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योगफल ज्ञात कर चुके हैं.<br />Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-81947616213836206202017-07-03T12:49:00.002+05:302017-07-03T12:51:47.612+05:30गणित में प्रेक्षण उपपत्ति (प्रमाण) क्यों नहीं हो सकती ?<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiahKYcC-kteo48vIS7hIdqs8DStESWC7uGv11Fy7Tn3YCef6hXaCMJ78oyBGEtGKvyxvTlA0hxk8bFMFrkMlVvuUNA4AZeSBaoHz_fr1L6oukrQ9aZth86tQimpCBVFqd9vdjXA2s6sMPI/s1600/observation.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="364" data-original-width="363" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiahKYcC-kteo48vIS7hIdqs8DStESWC7uGv11Fy7Tn3YCef6hXaCMJ78oyBGEtGKvyxvTlA0hxk8bFMFrkMlVvuUNA4AZeSBaoHz_fr1L6oukrQ9aZth86tQimpCBVFqd9vdjXA2s6sMPI/s200/observation.gif" width="199" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
गणित में प्रेक्षण के ही आधार पर किसी कथन को सत्य नहीं माना जा सकता है. प्रेक्षण सीमित होता है, अतः यह किसी कथन को सार्वत्रिक रूप से सत्य प्रमाणित करने में सक्षम नहीं भी हो सकता है. इसे हम एक उदाहरण के द्वारा समझाएँगे. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
एक बहुपद $f(n) = n^2 + n + 41$ पर विचार कीजिए. यदि आप $n$ के $0$ से लेकर $39$ तक के मानों के लिए $f(n)$ का मान परिकलित करें, तो आप पाएँगे कि ये सभी मान अभाज्य संख्याएँ हैं (नीचे के सारणी में देखें).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3NnS7Wsu8cD472vRnebUl70PepQBWIOQ3ko4WnTQabUUptc1Cq73hcy453SOphsAx4UPj-SOeBAGeX5ApbD9GvdiD8RtrOYkulx47tkDzo0hPd9Zx4aIJMhiwXV5itojxNWC7tr8NMoiv/s1600/prime-generating-polynomial.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="302" data-original-width="324" height="372" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3NnS7Wsu8cD472vRnebUl70PepQBWIOQ3ko4WnTQabUUptc1Cq73hcy453SOphsAx4UPj-SOeBAGeX5ApbD9GvdiD8RtrOYkulx47tkDzo0hPd9Zx4aIJMhiwXV5itojxNWC7tr8NMoiv/s400/prime-generating-polynomial.JPG" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
तो क्या इन प्रेक्षणों के आधार पर कहा जा सकता है $n$ के किसी भी ऋणेतर मान के लिए $f(n)$ का मान <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/p/blog-page_19.html" target="_blank">अभाज्य</a> होता है. वास्तव में, ऐसा कहना असत्य होगा. इस कथन को ऑयलर (Euler) ने $1772$ ईसवीं में असत्य प्रमाणित किया था. यदि आप उपरोक्त बहुपद का मान $n = 40$ के लिए परिकलित करें, तो आप पाएँगे कि</div>
<div style="text-align: justify;">
\[f(40) = 40^2 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 40(41) + 41= 41(40 + 1) = 41^2.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार हम देखते हैं कि यह मान अभाज्य नहीं है. </div>
<div style="text-align: justify;">
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<div style="text-align: right;">
*** </div>
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</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com1India20.593684 78.962880000000041-8.6044825 37.654286000000042 49.791850499999995 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-90106448977185356542017-07-02T14:29:00.001+05:302017-07-02T17:19:59.218+05:30अद्वितीय गुणनखंडन: पुनरावलोकन<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwK0s4ujEl6HO5JNsiLIGgLk3V9FZ8vqWPO4Ej9Nmd40wtLkHYAt9ioBOQn7AUfQCEdEJP9h0wLQrq9rRimSMPKnKTMg4hy-HZQ8oqo9fiTPDY2Tsm8KalM9vUIDBMkmF5cpeQTu2LMQSt/s1600/pa.1.0265.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="178" data-original-width="180" height="197" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwK0s4ujEl6HO5JNsiLIGgLk3V9FZ8vqWPO4Ej9Nmd40wtLkHYAt9ioBOQn7AUfQCEdEJP9h0wLQrq9rRimSMPKnKTMg4hy-HZQ8oqo9fiTPDY2Tsm8KalM9vUIDBMkmF5cpeQTu2LMQSt/s200/pa.1.0265.png" width="200" /></a></div>
एक से बड़े किसी भी धन पूर्णांक (positive integers) को अभाज्य संख्याओं (prime numbers) के गुणनफल के रूप में लिखने की प्रक्रिया से हमलोग प्रारंभिक कक्षा में ही परिचित हो जाते हैं. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में यह निरूपण उस संख्या का अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) कहलाता है. यह निरूपण अद्वितीय (unique) भी होता है, यदि अभाज्य गुणनखंडों के क्रम को महत्त्व न दिया जाए. इस तथ्य को <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2015/03/fundamental-theorem-of-arithmetic.html" target="_blank"><i>अंकगणित का मूलभूत प्रमेय</i> </a> (Fundamental Theorem of Arithmetic) के नाम से जाना जाता है. इस प्रमेय का स्पष्ट कथन नीचे दिया गया है. इस प्रमेय की उपपत्ति और इससे संबंधित विस्तृत जानकारी के लिए <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2015/03/fundamental-theorem-of-arithmetic.html" target="_blank"><i>अंकगणित का मूलभूत प्रमेय</i></a> नामक लेख पढ़ें.<br />
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<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
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<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<b>प्रमेय (अंकगणित का मूलभूत प्रमेय).</b> प्रत्येक धन पूर्णांक $n > 1$ को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में निम्न प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k},\]</div>
<div style="text-align: justify;">
जहाँ
$p_1, \ldots, p_k$ भिन्न - भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं और $e_1, \ldots,
e_k$ धन पूर्णांक हैं. यदि इस निरूपण में अभाज्य गुणनखंडों के क्रम को
महत्त्व न दिया जाये तो यह निरूपण अद्वितीय होता है.</div>
</blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
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उदाहरण के लिए, $30$ के दो अभाज्य गुणनखंडन $30 = 2\cdot3\cdot5$ और $30 = 3 \cdot 2 \cdot 5$ समान कहे जाएँगे. $30$ का कोई अन्य अभाज्य गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडन संभव नहीं है. अब एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है - क्या ऐसा कोई उदाहरण है, जहाँ अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय नहीं हो, अर्थात किसी संख्या के एक से अधिक अभाज्य गुणनखंडन हों ? मैंने भी पहली बार जब इस प्रमेय को पढ़ा था, तो यह प्रश्न मन में उठा था. परन्तु मैं उत्तर नहीं खोज सका था. इसका उत्तर स्नातक की कक्षा में अमूर्त बीजगणित की पुस्तक में मिला. परन्तु उस उदाहरण को समझने के लिए, हमें वलय, गुणनखंडनीय प्रांत, अखंडनीय अवयव, अभाज्य अवयव इत्यादि की व्यापक परिभाषा की जानकारी आवश्यक है. परन्तु हम एक ऐसे उदाहरण पर चर्चा करना चाहते हैं, जिसे समझने के लिए इन सब चीजों को जानना आवश्यक नहीं है और यह आसान भी है. (दसवीं कक्षा तक के गणित जानने वाले छात्र भी इसे समझ सकेंगे.) इस उदाहरण से मेरा सामना कुछ दिन पहले फ्रेज़र जारविस (Frazer Jarvis) द्वारा लिखित बीजगणितीय संख्या सिद्धांत (Algebraic Number Theory) की पुस्तक [1] पढ़ने के क्रम में हुई. यह उदाहरण इस पुस्तक के अध्याय 4 में पृष्ठ संख्या 65 पर उदाहरण 4.1 में दिया गया है. यह पुस्तक स्नातक-स्तरीय पाठ्यक्रम के लिए है. यहाँ पर हम इस उदाहरण को अत्यंत विस्तार से समझाएँगे.</div>
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<a name='more'></a><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
यदि आप अंकगणित के मूलभूत प्रमेय को ध्यान से पढ़ेंगे, तो आप पाएँगे कि इस प्रमेय में धन पूर्णांको के अभाज्य गुणनखंडन पर चर्चा की गई है, अर्थात हमें अभाज्य गुणनखंडन पर चर्चा करने से पहले संख्याओं का एक नियत समुच्चय होना चाहिए और साथ ही उस समुच्चय में अभाज्य संख्याओं की एक सुनिश्चित परिभाषा होनी चाहिए. इन संकल्पनाओं से हम अच्छी तरह परिचित हैं. जानकारी के लिए अभाज्य संख्याएँ नामक लेख देखें. अब हम संख्याओं के एक नए समुच्चय पर विचार करेंगे और इस समुच्चय में अभाज्य संख्याओं को पहले की ही तरह परिभाषित करेंगे. हमारा नया समुच्चय है - $3n + 1$ के रूप में व्यक्त किये जा सकने वाला धन पूर्णांक. इसे आप $3n + 1$ में $ n= 0, 1, 2, 3,$ इत्यादि रखकर ज्ञात कर सकते हैं. इस प्रकार हमारा समुच्चय है - $S = \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 , 22, \ldots\}.$ ध्यान दीजिए कि यह समुच्चय गुणन संक्रिया के सापेक्ष संवृत (closed with respect to multiplication) है, अर्थात इस समुच्चय के किन्हीं भी दो संख्याओं का गुणनफल भी इस समुच्चय का अवयव होता है. क्या आप इसे प्रमाणित कर सकते हैं. पहले स्वयं प्रयास करें और सफलता नहीं मिलने के बाद ही नीचे के बॉक्स को प्रसारित करके देखें.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background-color: darkseagreen;">
<div class="sh-section-btn">
$3x + 1$ के रूप की दो संख्याओं का गुणनफल <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> >>></span></span></span> </span></span></div>
<div class="h-section-cont shw-box" style="text-align: justify;">
मान
लीजिए कि $3x + 1$और $3y + 1$ समुच्चय $S$ के दो अवयव हैं. तब<br />
\[(3x +
1)(3y + 1) = 9xy + 3x + 3y + 1 = 3(xy + x + y) + 1,\]<br />
जो $3n + 1$ के रूप
का है, जहाँ $n =xy + x + y $. अतः इनका गुणनफल भी $S$ का अवयव है.</div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
परन्तु यह समुच्चय योग संक्रिया के सापेक्ष संवृत नहीं है, क्योंकि आप इस समुच्चय के किन्हीं भी दो अवयवों का योगफल इस समुच्चय के अवयव नहीं हैं. उदाहरण के लिए, $1 + 4 = 5$, परन्तु $5$ इस समुच्चय का अवयव नहीं है. व्यापक रूप में, यदि $3x + 1$ और $3y + 1$ इस समुच्चय के दो अवयव हों, तो इनका योगफल $(3x + 1) + (3y + 1) = 3(x + y) + 2$ है, जो विचाराधीन समुच्चय का अवयव नहीं है, क्योंकि यह $3n + 1$ के रूप का नहीं है.<br />
<br />
अब हम इस समुच्चय में अभाज्य संख्याओं को परिभाषित करेंगे. धन पूर्णांकों के समुच्चय में अभाज्य संख्याओं की परिभाषा याद कीजिए. वही परिभाषा यहाँ भी है. विस्तृत जानकारी के लिए <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/p/blog-page_19.html" target="_blank"><i>अभाज्य संख्याएँ</i></a> नामक लेख देखें. समुच्चय $S$ में किसी संख्या $n > 1$ को अभाज्य संख्या कहा जाता है, यदि $S$ में इस संख्या के गुणनखंड $1$ और केवल $n$ हों. उदाहरण के लिए, समुच्चय $S$ में $4, 7, 10, 13,$ इत्यादि अभाज्य संख्याएँ हैं. ध्यान दीजिये कि यहाँ $4$ और $10$ भी अभाज्य संख्याएँ हैं, परन्तु ये संख्याएँ धन पूर्णांकों के समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}$ में अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं. ध्यान दीजिये कि $4$ और $10$ के गुणनखंडन $4 = 2\times 2$ और $10 = 2 \times 5$ इस समुच्चय में मान्य नहीं हैं, क्योंकि गुणनखंडन में प्रयुक्त संख्याएँ $2$ और $5$ समुच्चय $S$ के अवयव नहीं हैं. अब $16$ के गुणनखंडन $16 = 4 \times 4$ पर विचार कीजिए. यह गुणनखंडन इस समुच्चय में मान्य है, क्योंकि गुणनखंडन में प्रयुक्त संख्या $4$ समुच्चय $S$ का अवयव है. अतः $16$ के $1$ और $16$ के अतिरिक्त एक अन्य गुणनखंड $4$ है. इसलिए $16$ समुच्चय $S$ में अभाज्य संख्या नहीं है.<br />
<br />
इस समुच्चय के अभाज्य संख्याओं से परिचित हो जाने के बाद आइए, अब हम इस समुच्चय में एक ऐसी संख्या खोजते हैं, जिसके दो अलग - अलग अभाज्य गुणनखंडन हैं. ऐसी ही एक संख्या $100$ है. यह समुच्चय $S$ का अवयव है, क्योंकि हम $100 = 3 \times 33 + 1$ लिख सकते हैं. अब आप आसानी से देख सकते हैं कि $S$ में इसके दो अभाज्य गुणनखंडन निम्नलिखित हैं -<br />
\[100 = 10 \times 10,\]<br />
और<br />
\[100 = 4 \times 25.\]<br />
ध्यान रखें कि $4, 10$ और $25$ समुच्चय $S$ में अभाज्य हैं. इस प्रकार हम देखते हैं कि अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता विचाराधीन समुच्चय पर निर्भर करता हैं. क्योंकि समुच्चय $S$ में पर्याप्त धन पूर्णांक नहीं हैं, अतः कुछ संख्याओं का पुनः गुणनखंडन संभव नहीं हो पाता है. अतः कुछ वैसी संख्याएँ, जो धन पूर्णांकों के समुच्चय में अभाज्य नहीं हैं, इस समुच्चय $S$ में अभाज्य बने रहते हैं.<br />
<br />
<u><b>संदर्भ</b></u><br />
<blockquote class="tr_bq">
[1] Frazer Jarvis, <i>Algebraic Number Theory,</i> Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, 2014.</blockquote>
<div style="text-align: center;">
***</div>
</div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com5India20.593684 78.962880000000041-8.6044825 37.654286000000042 49.791850499999995 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-63464569856379298932017-06-19T19:18:00.000+05:302017-06-21T20:46:53.085+05:30शून्य से विभाजन की समस्या<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrNcJh-NK4m5ifSAgKXSzteLXdJv_FBgenR7RO-BL7m9tGdDvTVvGrw-OApJdaoEm9pYVZN6-aJIJiHEUQri0DYiSkSLKACz4MCvGHsjW03rfa6tjfmNjQ-Ae4piJ-6xEbWpBfSFCF3dnP/s1600/baal-diwas-02+-+Copy.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="960" data-original-width="1231" height="249" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrNcJh-NK4m5ifSAgKXSzteLXdJv_FBgenR7RO-BL7m9tGdDvTVvGrw-OApJdaoEm9pYVZN6-aJIJiHEUQri0DYiSkSLKACz4MCvGHsjW03rfa6tjfmNjQ-Ae4piJ-6xEbWpBfSFCF3dnP/s320/baal-diwas-02+-+Copy.png" width="320" /></a><span style="font-size: x-large;"><span style="font-size: small;"> </span></span><i> </i><br />
<i>यह लेख मूल अंग्रेजी लेख <a href="https://maths2art.com.sg/2017/04/01/zero-division-quite-a-combination/" target="_blank">Zero in Division: quite a tricky affair ;)</a> की अनूदित सह संशोधित व संवर्धित प्रस्तुति है.</i><br />
<div style="text-align: center;">
मूल लेखिका: <a href="http://en.gravatar.com/maths2art" target="_blank">प्रिया अस्थाना</a></div>
<div style="text-align: center;">
अनुवादक: राज कुमार मिस्त्री</div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: x-large;"> </span></div>
<span style="font-size: x-large;"> </span><span lang="HI" style="color: #4f6228; font-family: "mangal" , "serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 150%;"> </span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
बच्चे प्रारंभिक कक्षाओं में ही विभाजन (division) अर्थात भाग देने की प्रक्रिया से परिचित हो जाते हैं. उन्हें यह प्रक्रिया अत्यंत आसान लगती है. परन्तु जब शून्य से भाग देने की समस्या आती है, तो वे उत्तरहीन हो जाते हैं. यह समस्या और भी कठिन हो जाती है, जब शून्य में शून्य से भाग देने का प्रश्न उठता है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
यहाँ पर हम इन्हीं समस्याओं पर विस्तार चर्चा करेंगे और इनका हल प्रस्तुत करेंगे. यह चर्चा प्राथमिक और माध्यमिक कक्षा के छात्रों को ध्यान में रखकर प्रस्तुत की गई है. हम निम्नलिखित तीन समस्याओं पर चर्चा करेंगे:</div>
<ul style="text-align: left;">
<li> $\frac{0}{N}$ (किसी शून्येतर संख्या से शून्य का विभाजन)</li>
<li> $\frac{N}{0}$ (किसी शून्येतर संख्या का शून्य से विभाजन)</li>
<li> $\frac{0}{0}$ (शून्य से शून्य का विभाजन). </li>
</ul>
<a name='more'></a><ul style="text-align: left;"></ul>
<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
<span style="font-size: x-large;">किसी शून्येतर संख्या से शून्य का विभाजन (0/N)</span><br />
<span style="font-size: x-large;"> </span><span lang="HI" style="color: #4f6228; font-family: "mangal" , "serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 150%;"> </span></div>
<br />
<br />
<div>
<span style="font-weight: 400;">आज पाँचवीं कक्षा के एक छात्र ने मुझसे पुछा - $0/2015$ क्या होगा ?</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">मैं इस प्रश्न का उत्तर तत्क्षण नहीं देना चाहती थी. मैं इस प्रश्न पर परिचर्चा के लिए कुछ ऐसे तरीके खोज रही थी, जिससे कि छात्र भाग की संकल्पना को अच्छी तरह समझ सके और स्वयं इस प्रश्न का उत्तर खोज सके.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">छात्र - क्या इसका उत्तर शून्य होगा ?</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span><a href="https://maths2art.com.sg/2017/02/27/maths2art-a-centre-for-guided-discovery/"><span style="font-weight: 400;"></span></a> <span style="font-weight: 400;">वह अपने उत्तर के प्रति पूर्णतः आश्वस्त प्रतीत नहीं हो रहा था. उसके प्रश्न की उपेक्षा करते हुए मैंने अपने तरीके (</span><span style="font-weight: 400;"><a href="https://maths2art.com.sg/2017/02/27/maths2art-a-centre-for-guided-discovery/"><span style="font-weight: 400;">Guided Discovery Way</span></a>) से समझाने के उद्देश्य से कुछ प्रश्न किए.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">मैं -विभाजन या भाग का क्या अर्थ है ?</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">छात्र - भाग का अर्थ है - 'बराबर भागों' में बाँटना.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">मैं - ठीक है, एक उदाहरण दो.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">छात्र - यदि मेरे पास $10$ आम हैं और इन्हें $5$ मित्रों में बाँटा जाए, तो प्रत्येक को $2$ आम मिलेंगे. $10/5 = 2$.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">मैं - बहुत अच्छा ! यदि तुम्हारे पास एक भी आम नहीं हो और इन्हें </span><span style="font-weight: 400;">$5$ मित्रों में बाँटने को कहा जाए, तो प्रत्येक को कितने आम मिलेंगे ?</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">छात्र - मेरे पास एक भी आम नहीं है, अतः वास्तव में हमें बाँटने के लिए कुछ भी नहीं है........तो किसी को कुछ भी नहीं मिलेगा.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">मैं - कुछ भी नहीं से तुम्हारा क्या तात्पर्य है ?</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">छात्र - कुछ भी नहीं का अर्थ शून्य है.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">मैं - इस प्रकार प्रत्येक को $0$ आम मिलेंगे. अर्थात $0/5 = 0 ?$</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">छात्र - हाँ, $0/5 =0$.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">मैं - अच्छा, यदि तुम्हारे पास एक भी आम नहीं हो और उन्हें $9$ मित्रों में बाँटने को कहा जाए, तो प्रत्येक को कितने आम मिलेंगे ?</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">छात्र - हाँ, समझ गया. $0/10 = 0$.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">मैं - अच्छा, तो $0/ 2015 = ?$ </span></div>
<div>
<span style="font-weight: 400;"> </span></div>
<div>
छात्र (हँसते हुए) - शून्य. मैं भी यह जानकर हँस पड़ी की उसे मेरी बात समझ आ गई थी. </div>
<div>
</div>
<div>
<br />
<span style="font-weight: 400;">मैं - अब एक अंतिम प्रश्न. यदि $0$ को किसी शून्येतर संख्या से भाग दिया जाए, तो उत्तर क्या होगा ? अर्थात $0/N = ?$</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">छात्र - $0$.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;">यदि मैं इस तथ्य को सीधे - सीधे बता देती, तो छात्र आँख मूँदकर बिना समझे उसे स्वीकार कर लेते. <i>गणित आँख मूँदकर स्वीकार करने के लिए नहीं है, यह समझने के लिए है.</i></span><br />
<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
<span style="font-size: x-large;">किसी शून्येतर संख्या का शून्य से विभाजन (N/0)</span><br />
<span style="font-size: x-large;"> </span><span lang="HI" style="color: #4f6228; font-family: "mangal" , "serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 150%;"> </span></div>
<br />
<span style="font-weight: 400;">वास्तव में, $N/0$ अपरिभाषित है.</span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <span style="font-weight: 400;"><b><i>हम शून्य से क्यों नहीं विभाजित कर सकते ?</i></b></span><br />
<br />
<span style="font-weight: 400;">इसका उत्तर विभाजन की परिभाषा के साथ सामंजस्यता से संबंधित है. </span><br />
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span> <br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">किसी संख्या $a$ को किसी संख्या $b$ से विभाजन का तात्पर्य है - एक ऐसी संख्या $x$ ज्ञात करना जिससे कि </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">\[bx = a.\]</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">यदि $b = 0$, तो दो स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं -</span></div>
<ul style="text-align: left;">
<li><span style="font-weight: 400;">$a \neq 0$,</span></li>
<li><span style="font-weight: 400;">$a = 0$.</span></li>
</ul>
</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-weight: 400;"><b>प्रथम स्थिति: </b>$a \neq 0$.</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-weight: 400;">इस स्थिति में, हमें एक ऐसी संख्या $x$ ज्ञातकरनी है, जिससे कि </span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-weight: 400;">\[0 \times x = a.\]</span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
क्योंकि $0$ को किसी भी संख्या से गुणा करने पर $0$ ही प्राप्त होता है, अतः उपरोक्त व्यंजक में वाम पक्ष $0$ होगा, जबकि दक्षिण पक्ष $a$ शून्य नहीं है. अतः उपरोक्त प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाले किसी $x$ का अस्तित्व नहीं है. अतः किसी शून्येतर संख्या में शून्य से भाग देना संभव नहीं है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: left;">
<span style="font-weight: 400;"><b>द्वितीय स्थिति: </b>$a = 0$.</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-weight: 400;">इस स्थिति में, हमें एक ऐसी संख्या $x$ ज्ञातकरनी है, जिससे कि </span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-weight: 400;">\[0 \times x = 0.\]</span></div>
<div style="text-align: justify;">
क्योंकि $0$ को किसी भी संख्या से गुणा करने पर $0$ ही प्राप्त होता है, अतः $x$ का कोई भी मान उपरोक्त प्रतिबंध को संतुष्ट करेगा. अतः उपरोक्त प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाले किसी अद्वितीय (unique) $x$ का अस्तित्व (existence) नहीं है. अतः $0/0$ का कोई अद्वितीय वास्तविक मान (unique real number)निर्धारित नहीं किया जा सकता है (क्यों ? उत्तर नीचे के अनुच्छेद में देखें). अतः $0/0$ अपरिभाषित (undefined) है.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
<span style="font-size: x-large;">शून्य से शून्य का विभाजन (0/0)</span><br />
<span style="font-size: x-large;"> </span><span lang="HI" style="color: #4f6228; font-family: "mangal" , "serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 150%;"> </span></div>
<br />
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">ऊपर के अनुच्छेद में हमने कहा था कि $0/0$ का कोई अद्वितीय वास्तविक मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है. यहाँ हम इसके समुचित कारणों पर प्रकाश डालेंगे.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">मान लीजिए कि $0/0$ को कोई अद्वितीय वास्तविक मान $k$ निर्धारित किया जा सकता है. तब </span></div>
<div style="text-align: justify;">
\[2k = 2\cdot \frac{0}{0} = \frac{2 \times 0}{0} = \frac{0}{0} = k.\]<span style="font-weight: 400;"><br />
</span></div>
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">इसलिए,</span> </div>
<div style="text-align: justify;">
\[2k - k = 0.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">अर्थात </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">\[k = 0.\]</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">अतः यह अद्वितीय मान $0$ हो सकता है. (ध्यान रखें कि यह कथन केवल ऐसा होने की संभावना व्यक्त करता है. आगे हम सिद्ध करेंगे कि ऐसा बिलकुल संभव नहीं है.)</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">अब यदि $\frac{0}{0} = 0$, तो किसी भी स्वेच्छ वास्तविक संख्या $x$ के लिए निम्नलिखित संबंध सत्य होना चाहिए<i>-</i></span> </div>
<div style="text-align: justify;">
\[x + 0 = x + \frac{0}{0} = \frac{x \cdot 0 + 0}{0} = \frac{0}{0} = 0.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">अर्थात,</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">\[x = 0.\]</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: 400;">परन्तु उपरोक्त संबंध $x$ के शून्येतर मानों के लिए सत्य नहीं है ($x = 1, 2, 5,$ इत्यादि लेकर देखें), जो हमारी इस पूर्व - मान्यता का विरोध करता है कि $x = 0$ सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए सत्य है. अंततः यह निष्कर्ष निकलता है कि $\frac{0}{0}$ का कोई अद्वितीय वास्तविक मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है. अर्थात, $\frac{0}{0}$ अपरिभाषित है.</span><br />
<br />
<div style="background: rgb(0, 255, 191) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>अनुवादक की टिप्पणी.</b> <i>व्यंजक $\frac{a}{b}$ कब अर्थहीन या अपरिभाषित होता है ?</i></span><br />
<br />
यहाँ पर हम दो पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए, व्यंजक $\frac{a}{b}$ के परिभाषित होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त प्रतिबंधों का उल्लेख करेंगे. व्यंजक $\frac{a}{b}$ अर्थपूर्ण या परिभाषित होता है यदि और केवल यदि निम्नलिखित दो प्रतिबंध संतुष्ट होते हों:<br />
<ol>
<li>चर $x$ के लिए समीकरण $bx = a$ के परिमेय हल का अस्तित्व हों.</li>
<li>उपरोक्त समीकरण का हल अद्वितीय हो.</li>
</ol>
व्यंजक $\frac{a}{b}$ के अर्थपूर्ण होने पर इस व्यंजक का मान समीकरण $bx = a$ का हल होता है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<ol>
</ol>
आइए, अब हम एक - एक कर पूर्व में चर्चा किए गए तीनों व्यंजकों पर विचार करते हैं.<br />
<br />
पहला व्यंजक था: $\frac{0}{N}$, जहाँ $N$ एक शून्येतर संख्या है. यह व्यंजक प्रतिबंध - 1 को संतुष्ट करता है, क्योंकि समीकरण $Nx = 0$ के हल का अस्तित्व है और यह हल $x = 0$ है. यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि यह हल अद्वितीय है - मान लीजिए कि इसका कोई शून्येतर हल $x = k$ है, तब $Nk = 0$, जो संभव नहीं है, क्योंकि $N$ और $k$ के शून्येतर होने के कारण $Nk$ कभी शून्य नहीं हो सकता है. अतः समीकरण $Nx = 0$ का $0$ के अतिरिक्त कोई हल नहीं है. अतः व्यंजक $\frac{0}{N}$ अर्थपूर्ण है और इसका मान $0$ है.<br />
<br />
दूसरा व्यंजक था: $\frac{N}{0}$ , जहाँ $N$ एक शून्येतर संख्या है. यह व्यंजक प्रतिबंध - 1 को ही संतुष्ट नहीं करता
है, क्योंकि समीकरण $0x = N$ के हल का अस्तित्व नहीं है. इसकी व्याख्या लेख में पहले ही की जा चुकी है. अतः व्यंजक $\frac{N}{0}$
अर्थपूर्ण नहीं है, अर्थात यह परिभाषित नहीं है.<br />
<br />
अंत में, तीसरा व्यंजक था: $\frac{0}{0}$ , जहाँ $N$ एक शून्येतर संख्या है. यह व्यंजक प्रतिबंध - 1 को संतुष्ट करता
है, क्योंकि समीकरण $0x = 0$ के हल का अस्तित्व है. उदाहरण के लिए, एक हल $x = 0$ है. परन्तु यह व्यंजक प्रतिबंध - 2 को संतुष्ट नहीं करता है, क्योंकि समीकरण $0x =0$ का अद्वितीय हल नहीं है. वास्तव में इसके अनंत हल हैं. प्रत्येक परिमेय संख्या इस समीकरण का हल है. अतः व्यंजक $\frac{0}{0}$
अर्थपूर्ण नहीं है, अर्थात यह परिभाषित नहीं है. </div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: x-large;"> </span><span lang="HI" style="color: #4f6228; font-family: "mangal" , "serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 150%;"> </span></div>
</div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-weight: 400;"><i>***</i></span></div>
</div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com3India20.593684 78.962880000000041-8.6044825 37.654286000000042 49.791850499999995 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-80942221892451329172017-04-21T12:32:00.001+05:302017-04-23T13:56:28.017+05:30दो और दो पाँच !!!<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaAC3jr2d444vbCjMkyBS4JAXZ3GcmXOYeFKZo6snDt2iRGewCcC2XlQL5hUyhKQHP_WG5IPg3T3A8fZUqdtaGNIq9sLhuA7cJafOTRrb-ECAsU4dOw96-I7HRIbBcvfp9oQ3bKX94iiLJ/s1600/bindu-shoonyam.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="195" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaAC3jr2d444vbCjMkyBS4JAXZ3GcmXOYeFKZo6snDt2iRGewCcC2XlQL5hUyhKQHP_WG5IPg3T3A8fZUqdtaGNIq9sLhuA7cJafOTRrb-ECAsU4dOw96-I7HRIbBcvfp9oQ3bKX94iiLJ/s200/bindu-shoonyam.jpg" width="200" /></a></div>
बिंदु और शून्यम् एक ही कक्षा में पढ़ते थे. दोनों के बीच अद्भुत मित्रता थी और दोनों ही गणित समेत सभी विषयों में निपुण थे. कक्षा के सभी छात्र - छात्राएँ इनसे बहुत प्रेम करते थे. वे सभी आपस में गणित और अन्य विषयों पर चर्चा - परिचर्चा करते रहते थे. गणित के शिक्षक अनंत सर भी इन्हें बहुत प्यार करते थे. सभी छात्र एक दिन पूर्व ही अगले दिन कक्षा में पढ़ाए जाने वाले पाठ का अध्ययन करके आते थे और समझ में न आने वाली चीजें अनंत सर से पूछते थे. अपनी कक्षा के विद्यार्थियों की यह प्रवृति देखकर अनंत सर को बहुत ही प्रसन्नता होती थी.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
कल बीजगणित की कक्षा में भिन्नात्मक संख्याओं के वर्गमूल से संबंधित पाठ पढ़ाए जाने वाले थे और आज रविवार था. बिंदु और शून्यम् उक्त पाठ को ध्यानपूर्वक पढ़ रहे थे और संकल्पनाओं पर चिंतन कर रहे थे. संरेख इधर से ही गुजर रहा था. वह उच्च कक्षा का छात्र था और इनकी प्रतिभा के विषय में बहुत - कुछ सुन चुका था.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
बिंदु और शून्यम् ने एक साथ पूछा, "बहुत दिनों के बाद आपके दर्शन हुए ! कैसे हैं आप ?"<br />
"हाँ, कुशल हूँ. तुमलोग कैसे हों ? और क्या पढ़ाई चल रही है ?" उन्होंने कहा.<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
"हमलोग भी कुशल हैं और वर्गमूल से संबंधित पाठ पढ़ रहे थे," बिंदु ने कहा.<br />
"अच्छा, वर्गमूल से संबंधित एक रोचक प्रश्न मेरे पास है. चाहो तो तुमलोग इस प्रश्न को हल कर सकते हो".<br />
"हाँ - हाँ, क्यों नहीं ! आप प्रश्न तो बताइए," चहकते हुए शून्यम् ने कहा.<br />
"वास्तव में इस प्रश्न में $2 + 2 = 5$ सिद्ध किया गया है. वो भी वर्गमूल की सहायता से..."<br />
"यह कैसे संभव है ? $2 + 2$ तो चार होता है. अवश्य ही कहीं गलती होगी," संरेख को बीच में ही रोककर अचंभित बिंदु ने पूछा.<br />
"हाँ, यही तो पता करना है कि गलती कहाँ है ?" संरेख ने प्रश्न स्पष्ट किया.<br />
"कहाँ है वो प्रश्न ? मुझे दिखाइए," उत्तेजित होते हुए शून्यम् ने कहा.<br />
संरेख ने प्रश्न लिखना शुरू किया.<br />
\begin{align}<br />
2 + 2 = 4 &= 4 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \label{s1}\\<br />
&=\sqrt{\left(4 - \frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2} \label{s2}\\<br />
&= \sqrt{16 - 2\cdot4\cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&= \sqrt{16 - 36 + \left(\frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&= \sqrt{-20 + \left(\frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&= \sqrt{25 - 45 + \left(\frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&= \sqrt{5^2- 2\cdot 5 \cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&=\sqrt{\left(5 - \frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2} \label{s9}\\<br />
&= 5 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \label{s10}\\<br />
& = 5.<br />
\end{align}<br />
<br />
बिंदु और शून्यम् ने शीघ्रता से एक - एक चरण को जाँचना शुरू किया. उन्हें कहीं कोई गलती नजर नहीं आ रही थी. संरेख जा चुका था. तभी शून्यम् ने अभिकलित्र से अभिकलनों की जाँच करनी चाही. उसने चरण $(\ref{s2})$ की जाँच अभिकलित्र से की, तो परिणाम $5$ आ रहा था. परन्तु पहले चरण में अभिकलन से तो $4$ ही आ रहा था. इस बार बिंदु ने अभिकलन करना शुरू किया-<br />
\[ 4 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 4 - 4.5 + 4.5 = -0.5 + 4.5 = 4,\]<br />
और<br />
\[\sqrt{\left(4 - \frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2} = \sqrt{(4 - 4.5)^2} + 4.5 = \sqrt{0.25} + 4.5 = 0.5 + 4.5 = 5.\]<br />
शून्यम् यह देखकर चकित रह गया कि दूसरे चरण में $-0.5$ के जगह $0.5$ आ रहा है. "परन्तु अभिकलन तो बिलकुल सही है," बिंदु ने आश्चर्यपूर्वक कहा.</div>
<div style="text-align: justify;">
"अच्छा, चरण $(\ref{s9})$ और चरण $(\ref{s10})$ की जाँच करते हैं," शून्यम् ने कहा.</div>
<div style="text-align: justify;">
बिंदु ने अभिकलन करना शुरू किया-</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\sqrt{\left(5 - \frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2} = \sqrt{(5 - 4.5)^2} + 4.5 = \sqrt{0.25} + 4.5 = 0.5 + 4.5 = 5,\]</div>
<div style="text-align: justify;">
और</div>
<div style="text-align: justify;">
\[ 5 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 5 - 4.5 + 4.5 = 0.5 + 4.5 = 5.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
"इस बार दोनों चरणों में एक ही परिणाम आ रहा है."</div>
<div style="text-align: justify;">
दोनों के आश्चर्य का कोई ठिकाना नहीं था. </div>
<div style="text-align: justify;">
"यह क्या जादू है !" बिंदु ने कहा.</div>
<div style="text-align: justify;">
हारकर दोनों ने यह प्रश्न अनंत सर से पूछने का सोचा.</div>
<div style="text-align: justify;">
अगले दिन कक्षा समाप्त होने के साथ ही सभी छात्र बाहर निकल गए. बिंदु और शून्यम् को अब भी कक्षा में ही खड़े देखकर अनंत सर ने पुछा, "तुमलोगों को कोई समस्या है क्या ? या कोई शिकायत है ?"</div>
<div style="text-align: justify;">
इसी बीच कक्षा के अन्य छात्र भी बिंदु और शून्यम् को अपने बीच नहीं पाकर पुनः कक्षा में आ गए थे.</div>
<div style="text-align: justify;">
"नहीं सर, हमलोग एक प्रश्न में कल से उलझे हैं. रहस्य कुछ भी समझ नहीं आ रहा है," बिंदु ने विनम्रता से कहा.</div>
<div style="text-align: justify;">
"कौन-सा प्रश्न है?" अनंत सर ने पुछा.</div>
<div style="text-align: justify;">
अनंत सर प्रश्न देखकर मंद - मंद मुस्कुराने लगे. दोनों विस्मित थे. उन्होंने कहा, "अभिकलन में दूसरे चरण में ही गलती है."</div>
<div style="text-align: justify;">
"सर ! हमलोग भी यही सोच रहे थे कि इसी चरण में कुछ - न - कुछ गलती है."</div>
<div style="text-align: justify;">
"परन्तु मैं इसका उत्तर देने से पहले तुमलोगों से कुछ प्रश्न पूछना चाहूँगा," अनंत सर ने कहा.</div>
<div style="text-align: justify;">
बिंदु तुम बताओ, क्या यह सही है -</div>
<div style="text-align: justify;">
\[ - 3 = \sqrt{(-3)^2}.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
बिंदु ने एक क्षण भी देर लगाए बिना कहा, "हाँ."</div>
<div style="text-align: justify;">
अच्छा, शून्यम् ! अब तुम बताओ, क्या यह सही है -</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
शून्यम् ने भी एक क्षण भी गँवाए बिना कहा, "हाँ."</div>
<div style="text-align: justify;">
तब तो हम लिख सकते हैं -</div>
<div style="text-align: justify;">
\[ - 3 = \sqrt{(-3)^2}= \sqrt{9} = 3.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
"परन्तु तब तो $-3 = 3$ हो जा रहा है," बिंदु ने कहा. </div>
<div style="text-align: justify;">
"परन्तु $\sqrt{9}$ के तो दोनों मान $-3$ और $3$ सही है," शून्यम् ने कहा.</div>
<div style="text-align: justify;">
"यही तो समस्या है," अनंत सर ने कहा. "वास्तव में हम बीजीय अभिकलनों में वर्गमूल का केवल धनात्मक मान ही लेते हैं, क्योंकि अलग - अलग मान लेने पर हमें अलग - अलग परिणाम प्राप्त होगा. अतः किसी अद्वितीय मान को सुनिश्चित करने के लिए ही हम वर्गमूल का धनात्मक मान लेते हैं." सभी ध्यान से सुन रहे थे. </div>
<div style="text-align: justify;">
अनंत सर ने फिर कहना शुरू किया, "इस प्रकार $\sqrt{9}$ का मान $3$ ही लिखा जाता है. अतः $- 3 = \sqrt{9}$ लिखना गलत है. हमें लिखना होगा: $-3 = -\sqrt{9}$."</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
"सर ! अब हमें समझ आ गया कि गलती कहाँ थी," बिंदु और शून्यम् ने एक साथ कहा.</div>
<div style="text-align: justify;">
बिंदु ने कहना जारी रखा, "क्योंकि $4 - \frac{9}{2} = -0.5$ ऋणात्मक है, अतः हमें $4 - \frac{9}{2} = -\sqrt{\left(4 - \frac{9}{2}\right)^2}$ लिखना होगा."</div>
<div style="text-align: justify;">
"और क्योंकि $5 - \frac{9}{2} = 0.5$ धनात्मक है, अतः हमें $5 - \frac{9}{2} = -\sqrt{\left(5 - \frac{9}{2}\right)^2}$ लिखना होगा," शून्यम् ने बीच में ही यह कहकर बिंदु के वाक्य को पूरा किया.</div>
<div style="text-align: justify;">
"हाँ, अब तुमलोग सही समझे हो," अनंत सर प्रसन्न होते हुए बोले.</div>
<div style="text-align: justify;">
तभी कक्षा के पिछले बेंच से मधुर स्वर गूँजा, "सर ! यह देखिए, अब अभिकलन करने पर $2 + 2 = 4$ ही आ रहा है," ज्या ने चहकते हुए अपनी लेखन पुस्तिका सभी के सामने रख दी-</div>
\begin{align*}<br />
2 + 2 = 4 &= 4 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \\<br />
&=-\sqrt{\left(4 - \frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&= -\sqrt{16 - 2\cdot4\cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&= -\sqrt{16 - 36 + \left(\frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&= -\sqrt{-20 + \left(\frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&=- \sqrt{25 - 45 + \left(\frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&= -\sqrt{5^2- 2\cdot 5 \cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&=-\sqrt{\left(5 - \frac{9}{2}\right)^2} + \frac{9}{2}\\<br />
&= -(5 - \frac{9}{2}) + \frac{9}{2} \\<br />
& = -5 + \frac{9}{2} + \frac{9}{2}\\<br />
& = -5 + 9\\<br />
& = 4.<br />
\end{align*}<br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
अनंत सर ने सभी बच्चों को धन्यवाद दिया. सभी खुशी - खुशी भोजन ग्रहण करने के लिए कक्षा से बाहर आ गए.<br />
<br />
<span style="color: #274e13;"><b><u>आभार</u>: <i>प्रस्तुत लेख "</i></b></span><i>गणिताञ्जलि !" <span style="color: #274e13;"><b>के WhatsApp समूह पर एक पाठक द्वारा पूछे गए प्रश्न से प्रेरित है.</b></span></i><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSEEXf2LC8COpw-sZ5CWoiKBGqp4vf1b46cUcpFigsC9ZUClnwD3ApqugzLHGm9loEniQT_M3V9Tmq5wJDKxEROd5yaIsdYkP2n3L7qiD2UfNYes3mcEJJh3LLq4ixgyfbQyAsJgMxJ0qU/s1600/two-plus-two-five.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSEEXf2LC8COpw-sZ5CWoiKBGqp4vf1b46cUcpFigsC9ZUClnwD3ApqugzLHGm9loEniQT_M3V9Tmq5wJDKxEROd5yaIsdYkP2n3L7qiD2UfNYes3mcEJJh3LLq4ixgyfbQyAsJgMxJ0qU/s1600/two-plus-two-five.JPG" /></a></div>
<span style="color: #274e13;"><b><br />
</b></span> <span style="color: red;"><i>आपको कहानी के माध्यम से गणित समझाने का यह प्रयास कैसा लगा ? आपकी प्रतिक्रियाओं का स्वागत है !</i></span><br />
<br /></div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0India20.593684 78.962880000000041-8.6044825 37.654286000000042 49.791850499999995 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-20950291127784333922016-12-31T19:42:00.001+05:302017-01-01T17:59:47.863+05:30विभाज्यता - परीक्षण का व्यापक सिद्धांत (General Theory of Divisibility Tests)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpQDoDxLZhfFS_HOZlTcsvompWottfyEL9FnOpfHVfxhnKqisoDXIjda2fXw3tKtygPEMtjyNJCZwjrEvj_1ZsjFG8eCDH8Nj5t0Gr9i7IFWfDr2igxl1n1fAQi0l11h6X08EmGeVh0PBu/s1600/div-rule-table-image01.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpQDoDxLZhfFS_HOZlTcsvompWottfyEL9FnOpfHVfxhnKqisoDXIjda2fXw3tKtygPEMtjyNJCZwjrEvj_1ZsjFG8eCDH8Nj5t0Gr9i7IFWfDr2igxl1n1fAQi0l11h6X08EmGeVh0PBu/s320/div-rule-table-image01.JPG" width="222" /></a></div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<i><span style="color: #274e13;">विभाज्यता-नियम
वे नियम हैं जिनके द्वारा मूल संख्या पर लम्बी भाग की प्रक्रिया किये बिना
हम किसी एक संख्या से दूसरी संख्या के विभाज्यता का पता कर सकते हैं.
परंतु विभाज्यता से हमारा क्या तात्पर्य है ? हम कहते हैं कि कोई पूर्णांक
$b$ एक अन्य पूर्णांक $a$ से विभाज्य है (या पूर्णांक $a$ पूर्णांक $b$ को
विभाजित करता है), यदि एक ऐसे पूर्णांक $c$ का अस्तित्व हो, जिससे कि $b = ac$ हो, </span></i><i><span style="color: #274e13;"><i><span style="color: #274e13;">और इस स्थिति में हम $a \mid b$ लिखते हैं और इसे "$a$ $~$ $b$ को विभाजित करता है" पढ़ते हैं.</span></i> उदाहरण के लिए, $12$ अभाज्य संख्या $3$ से विभाज्य है, क्योंकि एक
पूर्णांक $4$ का अस्तित्व है, जिससे कि $12 = 3 \times 4$. विभाज्यता से
संबंधित कुछ नियमों से पाठक संभवतः परिचित होंगे - जैसे कोई धन पूर्णांक
$2$ से विभाज्य होता है यदि और केवल यदि इसका इकाई अंक एक सम संख्या हो, और
कोई धन पूर्णांक $3$ से विभाज्य होता है, यदि और केवल यदि इनके अंकों का
योग $3$ से विभाज्य हों, इत्यादि. अलग - अलग धन पूर्णांक से विभाज्यता के
अलग - अलग नियम हैं, जिन्हें याद रख पाना प्रायः कठिन होता है. परन्तु ये
सभी नियम कुछ विभाज्यता के कुछ आधारभूत सिद्धांतों पर आधारित हैं, जिन्हें
याद रखना और समझना आसान हैं. इन सिद्धांतों को समझ लेने के पश्चात आप किसी
भी संख्या से विभाज्यता का नियम स्वयं खोज सकते हैं. प्रस्तुत लेख में हम
विभाज्यता-नियमों का उल्लेख करने से पहले इन आधारभूत सिद्धांतों पर चर्चा
करेंगे, उन्हें प्रमाणित करेंगे और फिर बताएँगे कि किस प्रकार इन
सिद्धांतों का प्रयोग विभाज्यता नियमों के निर्धारण में किया जा सकता है. </span></i></div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<b><a href="https://ganitanjali.blogspot.in/p/divisibility-test.html" target="_blank"><span style="color: #274e13;">आगे पढ़ें >>></span></a></b><i><span style="color: #274e13;"><br /></span></i></div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0India20.593684 78.962880000000041-8.6044825 37.654286000000042 49.791850499999995 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-24469689860463257492016-12-22T06:00:00.000+05:302016-12-22T06:00:26.003+05:30रामानुजन – गाथा: चयनित पंक्तियाँ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="background-color: #a6f7f2; padding: 5px 8px; text-align: center;">
<h2>
<span style="font-size: x-large;"><b><span style="color: #0c343d;">रामानुजन – गाथा</span></b></span></h2>
<h2>
<span style="font-size: x-large;"><b><span style="color: #0c343d;"> </span></b></span></h2>
<span style="color: #274e13; font-size: large;"><b>महानतम भारतीय गणितज्ञ व संख्या -सिद्धांत शास्त्री श्रीनिवास रामानुजन की जयंती के उपलक्ष्य में सादर समर्पित !</b></span><br />
<br />
<h3>
<span style="color: #274e13; font-size: large;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="color: #073763;">[प्रस्तुत कविता-अंश स्वरचित "रामानुजन -गाथा" से उद्धृत हैं.] </span></span><span style="color: #274e13;"><span style="color: #073763;"><b> </b></span></span></b></span></h3>
<br />
<a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Srinivasa_Ramanujan_-_OPC_-_2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Srinivasa_Ramanujan_-_OPC_-_2.jpg" width="230" /></a><span style="color: #274e13;"><br /> <br /> <span style="font-size: large;">थे रामानुजन गणितज्ञ ऐसे, जिन्हें विश्व समादर देते थे।<br /> जिनकी मोहिनी प्रतिभा के आगे सब , नतमस्तक हो जाते थे॥ १ ॥ <br /> <br /> अंक ही उनकी दुनिया , अंकों में खोए रहते थे।<br /> अंक ही उनका ईश्वर, उन्हें ही वे पूजते थे॥ २ ॥ <br /> <br /> हमारी भारत माता ने , कितने रत्नों को जन्म दिया।<br /> उन रत्नों ने ज्ञानदीप से , विश्व को प्रकाशमान किया॥ ३ ॥ <br /> <br /> ईश्वी सन अठारह सौ सतासी , बाईस दिसंबर आया था।<br /> चिरस्मरणीय विश्व में सुन्दर , क्षण यह बनकर आया था॥ ४ ॥ <br /> <br /> गौरवपूर्ण दिवस यह , रामानुजन का अवतार हुआ।<br /> गणित के इतिहास में , नयी प्रतिभा का आविर्भाव हुआ॥ ५ ॥ <br /> .......... <br /> पाँच वर्ष की उम्र में उसने , अपना विद्यारम्भ किया ।<br /> अपनी प्रतिभा से शिक्षकों को ,चकित करना शुरू किया॥ १० ॥ <br /> .................... <br /> गणित में सर्वप्रथम आना, रामानुजन की अभिलाषा थी ।<br /> अपर प्राइमरी कक्षा की , फिर से आई परीक्षा थी ॥ १८ ॥<br /> <br /> बयालीस अंक पैंतालीस में से , अंकगणित में उन्होंने प्राप्त किया ।<br /> शत प्रतिशत अंक प्राप्त न कर पाने का , भारी पश्चाताप हुआ ॥ १९ ॥ <br /> <br /> दुखकातर ह्रदय उनका , घंटों अश्रुपात किया।<br /> गणित ही उनका जीवन , गणित से बड़ा ही प्रेम किया ॥ २० ॥ <br /> ..................... <br /> प्रथम शोधपत्र था उनका, नवीन और अत्यंत दुरूह | <br /> सामान्य पाठक के लिए वह, न समझा गया अनुकूल ||६८|| <br /> ...................... <br /> <br /> <br /> विश्व को उनकी प्रतिभा का, अब जाकर आभास हुआ | <br /> कई गणितज्ञों से उनका सार्थक पत्राचार हुआ ||८४|| <br /> ..................... <br /> <br /> <br /> सन तेरह में जनवरी सोलह को हार्डी को प्रथम पत्र लिखा | <br /> प्रमेयों से परिपूर्ण वह पत्र, इतिहास में विश्व – प्रसिद्द हुआ ||८८|| <br /> .............................. <br /> प्रथमतः हार्डी ने उनके, शोधपत्र को समझा था | <br /> उनकी अनोखी प्रतिभा को अपार अलौकिक माना था ||९८|| <br /> .............................. <br /> ट्रिनिटी कॉलेज में प्रवेश पाकर कैम्ब्रिज वे चले गये | <br /> अलौकिक प्रतिभा से सबको, विस्मित वे करने लगे ||११४|| <br /> ............................ <br /> अठारह फरवरी सन अठारह, विश्व आज गौरवान्वित था | <br /> रॉयल सोसायटी लंदन ने, अपना फैलो मनोनीत किया था ||१५२|| <br /> ........................... <br /> मद्रास विश्विद्यालय ने भी, उनका समुचित सम्मान किया | <br /> गणित प्राचार्य का पदविशेष, तत्क्षण उनके लिए सृजित किया ||१५८|| <br /> .......................... <br /> भारत की प्रतिभा, भारत की काया, इंग्लैंड उनके प्रतिकूल था | <br /> ठंडी जलवायु, गिरती सेहत, लौटना भारत श्रेयस्कर था ||१६१|| <br /> <br /> <br /> उस शोध – भूमि को छोड़ उन्होनें, भारत प्रस्थान किया | <br /> वहां पर अब शोध न कर पाने का, उन्हें अत्यंत खेद हुआ||१६२|| <br /> ............................ <br /> कैसे होते स्वस्थ? ईश्वर को यह मंजूर न था | <br /> गणित – साधना को विराम देना, रामानुजन को मंजूर न था ||१७७|| <br /> <br /> <br /> अंत समय भी, मोक थीटा फंक्शन पर काम किया | <br /> घनिष्ठ मित्र हार्डी को, उन परिणामों से सूचित किया ||१७८|| <br /> ......................... <br /> विकट संकट में नहीं झुकने वाले, काल को वे पराजित कर न सके | <br /> अपने अनगिनत प्रेमी जन को, वे रोने से न रोक सके ||१८३|| <br /> <br /> <br /> सन बीस में अप्रील छब्बीस को, वे ब्रह्माण्ड में समा गये | <br /> अपनी स्मृति को वे जनमानस में छोड़ गये ||१८४||</span></span><br />
<br />
<span style="color: #274e13;"><span style="font-size: large;"><span style="color: red;">*************</span></span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: red;">रामानुजन छाया-चित्र-स्रोत:</span> By Konrad Jacobs (Oberwolfach Photo Collection, original location) [CC BY-SA 2.0 de (<a href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/deed.en">http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/deed.en</a>)], via Wikimedia Commons<span style="color: #274e13;"><span style="font-size: large;"> </span></span></div>
</div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0India20.593684 78.962880000000041-8.6044825 37.654286000000042 49.791850499999995 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-47520883328289170272016-11-23T18:43:00.001+05:302016-11-23T19:24:36.247+05:30हेनरी डार्मन ए. एम. एस. कोल पुरस्कार 2017 (AMS Cole Prize 2017) से पुरस्कृत होंगे<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<a href="http://www.ams.org/news?news_id=3220" target="_blank">अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी के प्रेस विज्ञप्ति</a> से अनूदित.<br />
Translated from a <a href="http://www.ams.org/news?news_id=3220" target="_blank">press release by the American Mathematical Society</a>.<br />
<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/23/Henri_Darmon.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="240" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/23/Henri_Darmon.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: large;">हेनरी डार्मन</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
प्रोविडेंस, आर. आइ. -- मैक-गिल विश्विद्यालय (McGill University) के हेनरी डार्मन (Henri Darmon) को संख्या सिद्धांत के अंतर्गत "दीर्घवृतीय वक्रों और मॉड्यूलर फॉर्म्स के आंकिकी (arithmetic of elliptic curves and modular forms) के क्षेत्र में उनके योगदान" के लिए ए. एम. एस. कोल पुरस्कार 2017 (AMS Cole Prize 2017) से पुरस्कृत किया जाएगा.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
हेनरी डार्मन का शोध कार्य गणित के एक अत्यंत चुनौतीपूर्ण अनसुलझी समस्या बर्च व स्विनेटन-डायर अनुमान (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) पर केन्द्रित रहा है. यह समस्या सात "मिलेनीयम पुरस्कार समस्याओं (Millennium Prize Problems)" में से एक है, जिसपर क्ले गणित संस्थान (Clay Mathematics Institute) ने एक मिलियन यु.एस. डॉलर का पुरस्कार प्रस्तावित किया है.</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<a name='more'></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
बर्च व स्विनेटन-डायर अनुमान दो गणितीय गणितीय संकल्पनाओं - वैश्लेषिक रूप से परिभाषित $L$- फलनों (analytically defined L-functions) और बीजीयतः परिभाषित दीर्घवृतीय वक्रों (algebraically defined elliptic curves) के बीच अंतर्संबंधों को दर्शाता है. ये दोनों संकल्पनाएँ गणित के अलग - अलग क्षेत्रों से आते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
यद्यपि इस अनुमान का प्रतिपादन 1960 के आसपास किया गया था, परन्तु गणित जगत इस समस्या के गहन और मूलभूत प्रकृति को कुछ समय के बाद ही समझ सका. 1970 के उपरांत यह समस्या संख्या सिद्धांत के अंतर्गत शोध की एक महत्त्वपूर्ण विषय-वस्तु बन गई. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
कोल पुरस्कार डार्मन को उनके दो शोधपत्रों "Generalized Heegner cycles and p-adic Rankin L-series, Duke Mathematical Journal, 2013" [ब्रायन कोनराड (Brian Conrad) के द्वारा लिखित परिशिष्ट सहित मसिमो बर्टोलिनी (Massimo Bertolini) और कार्तिक प्रसन्न (Kartik Prasanna) के साथ ] और "Diagonal cycles and Euler systems, II: the Birch and Swinnerton-Dyer
conjecture for Hasse-Weil-Artin L-functions,
Journal of the AMS, 2016" [विक्टर रोजर (Victor Rotger) के साथ] के लिए दिया जाएगा. ये दोनों शोधपत्र बर्च व स्विनेटन-डायर अनुमान और सम्मिश्र गुणनफल सिद्धांत के संभावित विस्तारीकरण (possible extensions of the theory of complex multiplication) पर महत्त्वपूर्ण प्रकाश डालते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
सम्मिश्र गुणनफल की संकल्पना का विकास गॉस (Gauss), आइसेन्सटाइन (Eisenstein) और क्रोनेकर (Kronecker) ने किया था. यह संकल्पना कोट्स (Coates) और वाइल्स (Wiles) के 1970 के आसपास के कार्यों तथा ग्रॉस - जेगीय (Gross-Zagier) और कोलीवगिन (Kolyvagin) के 1980 के अंत के कार्यों के साथ बर्च स्विनेटन-डायर अनुमान की दिशा में प्रगति के लिए महत्त्वपूर्ण कारक रहा है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
डार्मन विश्व के अग्रणी संख्या - शास्त्रियों में से एक हैं. इस पुरस्कार की उद्घोषणा में डार्मन के शोधपत्रों की प्रशंसा "प्रभावी शोधपत्रों की लंबी सूची में उच्च कोटि के शोधपत्र (only high points of a long sequence of influential papers)" कहकर की गई है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
डार्मन का जन्म फ्रांस के पेरिस में 1965 में हुआ था. बाद में 1968 में वे कनाडा चले गए. उन्होंने 1987 में मैक-गिल विश्विद्यालय से स्नातक की डिग्री और 1991 में हारवर्ड विश्विद्यालय से बेनेडिक्ट ग्रॉस (Benedict Gross) के देखरेख में पी एच. डी. (Ph.D.) की डिग्री प्राप्त की. उसके बाद उनहोंने प्रिंसटन विश्विद्यालय में एंड्रू वायल्स के देखरेख में पोस्ट-डॉक्टरल अध्येता के रूप में प्रवेश किया. यह वही समय था जब वायल्स ने फर्मा के अंतिम प्रमेय की उपपत्ति देकर विश्व - ख्याति अर्जित की थी. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
1994 में डार्मन मैक-गिल विश्वविद्यालय में प्राध्यापक के रूप में नियुक्त हुए, जहाँ वे वर्तमान में गणित व सांख्यिकी विभाग (Department of Mathematics and Statistics) में प्रोफेसर हैं और मांट्रियल के गणितीय शोध केंद्र (Centre de Recherches Mathématiques) CRM से सम्बद्ध हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
उन्हें CRM का André Aisenstadt Prize (1997), Canadian Mathematical Society का Coxeter-James Prize (1998),
Canadian Number Theory Association का Ribenboim Prize (2002) और Royal Society of Canada का John L. Synge Award (2008) भी प्राप्त हो चुके हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
ए. एम. एस. कोल पुरस्कार प्रत्येक तीन वर्ष पर संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में विगत छः वर्षों के दौरान प्रकाशित महत्त्वपूर्ण शोध कार्यों के लिए प्रदान किया जाता है. यह पुरस्कार वृहस्तपतिवार, 5 जनवरी 2017 को एटलांटा के संयुक्त गणित गोष्ठी (Joint Mathematics Meetings) में प्रदान किया जाएगा.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: red;">महत्त्वपूर्ण:</span> <span style="color: blue;">हेनरी डार्मन का छाया चित्र Creative Commons <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/deed.en" rel="nofollow">Attribution-Share Alike 2.0 Germany</a> license के अंतर्गत निम्नलिखित स्रोत से प्राप्त किया गया है:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;">स्रोत: <a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/23/Henri_Darmon.jpg" target="_blank">हेनरी डार्मन का छाया चित्र</a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0India20.593684 78.962880000000041-8.6044825 37.654286000000042 49.791850499999995 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-544952026732892672016-11-11T18:22:00.000+05:302016-11-13T14:36:48.184+05:30भाई - बहन की संख्या बताने वाली पहेली का रहस्य<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJZe1Txo6zzVJY3cSzPoIH4WMFDZggJ0A6zto-fCvYzm3wBJDYbknrzruaDVau5p_Rf0P_3GowriBVIaMLCXZ9GbSIpu8RKCSCRsd74UkRzRGx3RpyavRPMlKT4otmpE0LGUwIdf1evk-n/s1600/brothers-sisters.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="244" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJZe1Txo6zzVJY3cSzPoIH4WMFDZggJ0A6zto-fCvYzm3wBJDYbknrzruaDVau5p_Rf0P_3GowriBVIaMLCXZ9GbSIpu8RKCSCRsd74UkRzRGx3RpyavRPMlKT4otmpE0LGUwIdf1evk-n/s320/brothers-sisters.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
गाँव - घर में भाइयों और बहनों की संख्या बताने वाली पहेली बच्चों के बीच बहुत लोकप्रिय होता है. इस पहेली में प्रश्नकर्ता श्रोता से कुछ प्रश्न पूछते हैं और अंत में श्रोता के भाइयों और बहनों की संख्या सही - सही बता देते हैं. कई बच्चे इसे जादू समझते हैं और पहेली पूछने वाले से बहुत ही प्रभावित हो जाते हैं. परन्तु वास्तव में यह कोई जादू नहीं हैं और यह बात ज्यादातर पहेली पूछने वालों को भी पता नहीं होता है. वे पहेली को ज्यों का त्यों याद रखते हैं और इसे अपनी जादुई प्रतिभा कहकर दूसरे को प्रभावित करने की कोशिश करते हैं. मुझे भी कई बार बचपन में इस पहेली का सामना करना पड़ा है. इस पहेली को सुनकर मैंने इसका रहस्य खोजने का प्रयास किया था. इसमें कुछ भी रहस्य नहीं है और यह केवल बीजगणित का एक अनुप्रयोग है. रहस्य जान लेने के बाद आप स्वयं इस प्रकार के कई पहेलियों की रचना कर सकते हैं. रहस्योद्घाटन से पूर्व हम यह पहेली क्या है - यह बताना चाहेंगे. इस पहेली के अंतर्गत प्रश्नकर्ता श्रोता से निम्नलिखित प्रक्रियाएँ करने को कहते हैं:<br />
<br /></div>
<blockquote class="tr_bq">
<ol style="text-align: left;">
<li>सबसे पहले भाइयों की संख्या में $2$ जोड़ें.</li>
<li>अब प्राप्त संख्या में $2$ से गुणा करें.</li>
<li>पुनः प्राप्त उत्तर में $1$ जोड़ें. </li>
<li>अब इस चरण में प्राप्त संख्या को $5$ से गुणा करें.</li>
<li>पुनः प्राप्त उत्तर में बहनों की संख्या जोड़ें.</li>
<li>अब कुल योग में $25$ घटाएँ.</li>
<li>प्राप्त संख्या मुझे बताएँ.</li>
</ol>
</blockquote>
<br />
<div style="text-align: justify;">
प्राप्त संख्या बताए जाने के बाद पहेली पूछने वाला उस संख्या का दहाई अंक भाईयों की संख्या और इकाई अंक बहनों की संख्या बताता है.<br />
<br />
मान लीजिए कि अंत में प्राप्त संख्या $23$ हैं, तो भाइयों की संख्या $2$ और बहनों की संख्या $3$ होगी. जैसा कि हमने पहले ही कहा है कि यह पहेली बीजगणित के अनुप्रयोग पर आधारित है, तो क्या आप इस पहेली का रहस्य स्वयं खोज सकते हैं. प्रयास करके देखें और सफलता नहीं मिलने के पश्चात ही आगे पढ़ें. रहस्योद्घाटन के लिए नीचे क्लिक करें.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background-color: darkseagreen;">
<div class="sh-section-btn">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">रहस्य जान<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">ने के लिए यहाँ क्लिक करें<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> >>></span></span></span> </span></span></div>
<div class="h-section-cont shw-box" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">सबसे पहले यह बताना अत्यंत महत्त्वपूर्ण है कि यह पहेली उन स्थतियों में काम नहीं करता है जब श्रोता के भाइयों और बहनों में कम से कम किसी एक की संख्या $9$ से ज्यादा है. <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">इसका <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">कारण आपको शीघ्र ही स्पष्ट हो जाएगा. इस तथ्य को <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">जानने के बाद <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">आप</span> पहेली पूछने वाले को अचंभित कर <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">देंगे</span> और उनका जादू संकट में पड़ <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">जाएगा !</span><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> आइये अब <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">बीजगणि<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">तीय</span> रहस्य पर चर्चा करते हैं. ध्यान <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">रहें कि हम केवल उस स्थिति पर चर्चा कर रहे हैं जबकि भाईयों और बहनों की संख्याएँ </span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>$10$<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> से कम हों.</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span><br />
<br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">मान लीजिये की श्रोता के <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">भाईयों की संख्या $x$ और बहनों की संख्या $y$. यदि पहेली पूछने वाले को किसी तरह <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">दो अंकों की संख्या $xy$ (यहाँ $xy$ दो अंकों की संख्या है न कि $x$ और $y$ का गुणनफल) पता चल जाए, तो वह इस संख्या को देखकर ही भाइयों और बहनों की संख्या बता देगा. इसके लिए वह इस संख्या को योग - गुणन इत्यादि संक्रियाओं के माध्यम से <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">एक भिन्न प्रकार के व्यंजक के रूप में व्यक्त करता है, जो पहेली का आधार है. ध्यान दीजिये कि दो अंको की संख्या $xy$ वास्तव में विस्तृत रूप में </span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>$10x + y $<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> है. जैसे </span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>$23 = 10 \times 2 + 3$<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">. अब हम </span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>$10x + y$<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"> <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">को निम्नलिखित रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">:</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span><br />
\[10x + y = [\{(x + 2)\times 2 + 1\}\times 5 + y] - 25.\]<br />
उपरोक्त व्यंजक से स्पष्ट है कि आप $10x + y$ तब भी प्राप्त कर सकते है, जब आप उपरोक्त पहेली के प्रथम छह चरणों की प्रक्रियाएँ करते हैं.<br />
<br />
अब आप अवश्य ही उपरोक्त पहेली का रहस्य समझ गए होंगे. आप $10x + y$ को अन्य व्यंजकों के रूप में व्यक्त कर भिन्न - भिन्न प्रकार के पहेलियों का निर्माण कर सकते हैं. मैंने भी ऐसा किया था. कुछ प्रयास करने पर आप वैसी पहेली का भी निर्माण कर सकते हैं, जिससे भाईयों या बहनों की संख्या $9$ से अधिक होने पर उनकी संख्या का पता लगाया जा सके.<br />
<br />
आपको यह प्रस्तुति कैसी लगी ? - नीचे टिप्पणी - बॉक्स में अपना विचार अवश्य व्यक्त करें !</div>
</div>
<br /></div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com8India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-13811845215632452212016-10-16T15:02:00.000+05:302016-10-16T15:08:09.618+05:302 + 2 ÷ 2 = 2 या 3 ?<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
हमारे घर में जब भी कोई वृद्ध अतिथि आते थे और मुझे गणित पढ़ते देखते थे, तो अचानक ही सवाल कर देते थे: $2 + 2 \div 2$ (दो जोड़ दो भागा दो) क्या होगा ? हो सकता है आपलोगों में से भी बहुतों के साथ ऐसा हुआ होगा. इस प्रश्न से जोड़ - घटाव - गुणा - भाग में पारंगत छात्र भी उत्तर देने में कभी कभी असमंजस में पड़ जाते हैं. मेरे साथ भी ऐसा होता था. इस प्रश्न का सही उत्तर क्या होगा ?</div>
<a name='more'></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
यदि आप यह प्रश्न बच्चों से पूछेंगे, तो उनका उत्तर या तो $2$ होगा या $3$ होगा. अलग - अलग उत्तर के पीछे बच्चों का कोई दोष नहीं है. वास्तव में यह प्रश्न की अस्पष्टता है, जिसके कारण बच्चे अलग - अलग उत्तर देते हैं. आइये उनके तर्कों पर ध्यान देते है. क्योंकि यहाँ दो <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2014/09/blog-post_7.html" target="_blank">अंकगणितीय संक्रियाएँ</a> हैं - जोड़ ($+$) और भागा ($\div$), अतः उनकी मुख्य उलझन होती है - इन दोनों संक्रियाओं में कौन सी संक्रिया पहले संपादित की जाए. ध्यान दीजिये कि यदि किसी अंकगणितीय व्यंजक में दो से अधिक पद हों, तो दो - दो पद लेकर बारी - बारी से संक्रिया करते हैं. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
आइये उन बच्चों के तर्क सुनते हैं, जिनके उत्तर $2$ हैं. क्योंकि हम बायीं से दायीं ओर पढ़ते हैं, अतः इस क्रम में पहले जोड़ की संक्रिया आती है. इसलिए, पहले वे जोड़ की संक्रिया करते हैं. अतः उनका पहला चरण होता है-</div>
<div style="text-align: justify;">
\[2 + 2 \div 2 = 4 \div 2.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
अब क्योंकि एक ही संक्रिया बचती है - भाग की संक्रिया, अतः उनका उत्तर होता है-</div>
<div style="text-align: justify;">
\[2 + 2 \div 2 = 4 \div 2 = 2.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
आइये अब हम उन बच्चों का तर्क सुनते हैं, जिनके उत्तर $3$ हैं. इन बच्चों का तर्क होता है कि यदि किसी अंकगणितीय व्यंजक में एक से अधिक संक्रियाएँ हों, तो नियमतः पहले भाग की क्रिया, फिर गुणा की, फिर जोड़ (योग) की और अंत में घटाव (अंतर या व्यवकलन) की क्रिया करते हैं. इस नियम के अनुसार, पहले वे भाग की क्रिया करते हैं और फिर योग की क्रिया, और इस प्रकार निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुँचते हैं-</div>
<div style="text-align: justify;">
\[2 + 2 \div 2 = 2 + 1 = 3.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
अब प्रश्न यह उठता है कि दोनों उत्तर में सही उत्तर कौन है और किस आधार पर सही है ? यदि प्रश्न की दृष्टि से देखा जाएँ, तो या तो प्रश्न को निरर्थक माना जा सकता है या दोनों ही उत्तरों को सही माना जाएगा. परन्तु प्रश्न पूछने वाले का अलग ही पक्ष है. उनके अनुसार, संक्रियाओं के क्रम का नियम बच्चों को ज्ञात होना चाहिए और इस आधार पर इस प्रश्न का उत्तर $3$ है. वास्तव में उनका उद्देश्य यह जानना नहीं होता है कि बच्चे जोड़, घटाव, गुणा, भाग इत्यादि जानते हैं कि नहीं, अपितु उनका उद्देश्य यह जानना होता है कि बच्चों को संक्रियाओं के क्रम का ज्ञान है कि नहीं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
परंतु इस नियम की कुछ गंभीर कमियाँ हैं. यदि हम कुछ व्यावहारिक समस्याओं को गणितीय संकेत में लिखकर उसे हल करने का प्रयास करें, तो हमें गलत उत्तर प्राप्त होगा. आइये एक व्यावहारिक प्रश्न पर विचार करते हैं:</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
मोहन अपने दो बच्चों सीता और गीता को एक - एक गुल्लक देते हैं, जिसमें क्रमशः $4$ रूपये और $6$ रूपये हैं. वे सीता से कहते हैं कि दोनों गुल्लक के पैसे को मिलाकर उसका आधा गीता को दे दें. बताइए गीता को कितने रूपये मिलेंगे ? </div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
सीता गणित का प्रयोग करके गीता को मिलने वाले रूपये का निर्धारण निम्न रूप से करना चाहती है -</div>
<div style="text-align: justify;">
\[ 4 + 6 \div 2 = 4 + 3 = 7.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
परन्तु अब सीता के पास केवल $3$ रूपये बचे हैं, जो गीता को मिलने वाले रूपये से कम है. परन्तु उसके पिताजी ने उसे रूपये आधा - आधा बाँटने को कहा था. वह आश्चर्यचकित है कि गलती कहाँ हुई.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
यदि आप प्रश्न ध्यान से देखें तो उसके पिता के कहने का अर्थ था कि पहले सभी पैसे को मिला दिया जाए (जिसका अर्थ है - पहले हमें $4$ और $6$ को जोड़ना है) और फिर उसका आधा किया जाए (जिसका अर्थ है जोड़ने के बाद प्राप्त परिणाम में $2$ से भाग दिया जाए). इन बातों को ध्यान में रखने पर हम निम्न प्रकार परिकलन कर सकते हैं-</div>
<div style="text-align: justify;">
\[ 4 + 6 \div 2 = 10 \div 2 = 5.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
अतः इस बार दोनों को बराबर - बराबर रूपये मिलेंगे.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार आपने देखा कि किसी समस्या को अंकगणित के नियमों से सुलझाने के लिए केवल संक्रिया के क्रमों के नियम का ज्ञान पर्याप्त नहीं है. हमें संक्रियाएँ किस क्रम में करनी हैं, इन्हें व्यक्त करने का भी कुछ उपाय होना चाहिए. गणित में इस कठिनाई से बचने के लिए, कोष्ठक $``(...)"$ का प्रयोग किया जाता है. कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को पहले हल करने का नियम बनाया गया. उदाहरण के लिए, उपरोक्त समस्या को हम कोष्ठक की सहायता से निम्न प्रकार लिख सकते हैं-</div>
<div style="text-align: justify;">
\[(4 + 6) \div 2.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
अब यह स्पष्ट है कि पहले हमें $4 + 6$ ज्ञात करना है और फिर भाग की क्रिया करने है. इस प्रकार</div>
<div style="text-align: justify;">
\[(4 + 6 )\div 2 = 10 \div 2 = 5.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
अब हम कोष्ठक के माध्यम से उत्तर $2$ वाले बच्चों का तर्क निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं-</div>
<div style="text-align: justify;">
\[2 + 2 \div 2 = (2 + 2) \div 2 = 4 \div 2 = 2,\]</div>
<div style="text-align: justify;">
और उत्तर $3$ वाले बच्चों का तर्क निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं-</div>
<div style="text-align: justify;">
\[2 + 2 \div 2 = 2 + (2\div 2)= 2 + 1 = 3.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
कुछ जटिल समस्याओं में हमें एक से अधिक प्रकार के कोष्ठकों का प्रयोग करना पड़ता है. हम मुख्यतः तीन प्रकार के कोष्ठकों का प्रयोग करते हैं- $(...),~ \{...\}$ और $[...]$. हम संक्रियाएँ भी इसी क्रम में करते हैं, अर्थात पहले लघु कोष्ठ $(...)$ के अंदर की क्रिया करते हैं, फिर मध्यम कोष्ठ $\{...\}$के अंदर की क्रिया और अंत में वृहत कोष्ठ $[...]$ के अंदर की क्रिया करते हैं. उदाहरण के लिए,</div>
<div style="text-align: justify;">
\[3 - [4 \div \{7 - (2 + 3)\}] = 3 - [4 \div \{7 - 5\}] = 3 - [4 \div 2] = 3 - 2 = 1.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
आपको यह लेख कैसा लगा ? आप अपनी प्रतिक्रिया नीचे टिपण्णी बॉक्स में व्यक्त कर सकते हैं और इस प्रकार का कोई अनुभव साझा कर सकते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com22India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-81812723053925111282016-10-12T11:00:00.000+05:302016-10-13T15:32:37.159+05:30गणितीय आगमन सिद्धांत<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
माखनलाल चतुर्वेदी की एक कविता है - "दीप से दीप जले" जिसकी प्रथम और अंतिम पंक्तियाँ हैं: </div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
सुलग-सुलग री जोत दीप से दीप मिलें<br /> सुलग-सुलग री जोत! दीप से दीप जलें। </div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div class="text_exposed_show" style="text-align: justify;">
आप सोच रहे होंगे कि गणितीय आगमन सिद्धांत (Principle of Mathematical Induction) का इस कविता से क्या संबंध है !
शीघ्र ही यह स्पष्ट हो जाएगा. मान लीजिए एक कतार में अनंत संख्या में दीप
रखे हुए हैं. कल्पना कीजिए कि किसी भी एक दीप के जलना शुरू करते ही अगला
दीप भी जलना शुरू कर देता है. इस स्थिति में यदि आप कतार में पहले स्थान पर
रखे दीप को जलाते हैं, तो क्या सभी दीप स्वयं जल उठेंगे ? शायद आपका उत्तर
भी "हाँ" होगा.<br />
<br />
गणितीय आगमन सिद्धांत भी इसी व्यावहारिक प्रेक्षण
पर आधारित है. मान लीजिए कि हमें सिद्ध करना है कि कोई कथन किसी भी प्राकृत
संख्या $n$ के लिए सत्य है. इसके लिए हम इस कथन को $n = 1$ के लिए सत्य सिद्ध
करते हैं. पुनः हम सिद्ध करते हैं कि यदि यह कथन किसी स्वेच्छ संख्या $n = k$ के
लिए सत्य है, तो यह अगली संख्या $k + 1$ के लिए भी सत्य होता है. तब यह सिद्ध
हो जाता है कि वह कथन सभी $n$ के लिए सत्य है, क्योंकि $n = 1$ के लिए सत्य
होने के कारण यह $n = 2$ के लिए सत्य होता है, फिर $n = 2$ के लिए सत्य होने के
कारण $n = 3$ के लिए सत्य होता है, इसी प्रकार $n = 4, 5$, इत्यादि के लिए
सत्य होता है.<br />
<br />
इस सिद्धांत के विषय में विस्तार से जानने के लिए यह लेख पढ़ें:<a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2014/08/blog-post_26.html" target="_blank"> गणितीय आगमन सिद्धांत. </a></div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-42532648154552548162016-10-11T11:00:00.000+05:302016-10-13T15:42:56.761+05:30दाशमिक संख्या प्रणाली<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
विजयादशमी के बहाने.......</div>
<div style="text-align: justify;">
सर्वप्रथम विजयादशमी की मंगलप्रदायी शुभकामनायें ! </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
आज विजयादशमी है. विजयादशमी में "दशमी" शब्द से ध्यान आया "दस" का और "दस"
से ध्यान आया "दाशमिक संख्या प्रणाली" का. दाशमिक संख्या प्रणाली के विषय
में महान गणितज्ञ लाप्लास ने कहा था:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="text_exposed_show" style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
"किसी भी संख्या को केवल दस प्रतीकों (प्रत्येक प्रतीक का एक स्थानीय मान
और एक निरपेक्ष मान अर्थात अंकित मान होता है) की सहायता से व्यक्त करने की
दक्ष विधि की खोज भारत में की गई. आजकल यह धारणा इतनी आसान लगती है कि
इसके महत्त्व और इसकी अगाध उपयोगिता को हम पहली दृष्टि में नहीं समझ पाते
हैं. इस धारणा ने परिकलनों को आसान बनाकर अंकगणित को सभी उपयोगी आविष्कारों
में शीर्ष स्थान पर सुशोभित कर दिया - यह इसकी सरलता का परिचायक है. हमारी
दृष्टि में इस आविष्कार का महत्त्व तब और बढ़ जाता है जब हम सोचते हैं कि
यह धारणा प्राचीन काल के दो महापुरुषों आर्किमिडीज और अपोलोनियस की दृष्टि
से भी परे था."</blockquote>
निश्चय ही दाशमिक संख्या प्रणाली गणित और विज्ञान के
इतिहास में एक अभूतपूर्व और महानतम योगदान है, जिसका श्रेय और गौरव भारत
को प्राप्त है. जैसा कि लाप्लास ने कहा है कि इसकी महत्ता और इसकी उपयोगिता
को हम पहली दृष्टि में नहीं आंक पाते हैं. क्या कभी आपने सोचा है कि दशमिक
संख्या पद्धति ही क्यों इतना सहज है ? इस पद्धति में संख्याओं को लिखना और
गिनना आसान क्यों है ? द्विआधारी पद्धति का प्रयोग करने में हमें कठिनाई
क्यों होती है ? परन्तु यही द्विआधारी पद्धति निर्जीव कम्प्यूटर (जो मानवों
की तरह सोच नहीं सकता) के लिए आसान क्यों है ? या इनपर बिना सोचे ही
लाप्लास के कहने पर आपने मान लिया कि निश्चय ही यह महानतम आविष्कार है. इन
प्रश्नों पर एक बार गहराई से चिंतन कीजिए. तभी आपको इसकी महानता का सही -
सही पता चलेगा. अपना चिंतन और प्रेक्षण आप नीचे टिप्पणी कर सकते हैं.<br />
<br />
भारतीय अंक प्रणाली की विशेषताएँ:<br />
<ul>
<li> इसमें दस संकेतों का उपयोग होता है: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.$</li>
<li> केवल दस संकेतों से ही छोटी-बड़ी सभी संख्याएँ लिखी जा सकती हैं. </li>
<li> बड़ी-बड़ी संख्याएं लिखने में भी कम स्थान घेरतीं हैं (रोमन अंक प्रणाली में ऐसा नहीं है).</li>
<li> भारतीय अंक प्रणाली स्थानीय मान पर आधारित दाशमिक प्रणाली है.</li>
<li>
इसमें 'शून्य' नामक एक अंक की परिकल्पना भी की गयी है जो अत्यन्त
क्रांतिकारी कल्पना (खोज) थी। शून्य किसी भी स्थान पर हो, उसका स्थानीय मान
'शून्य' ही होता है। किन्तु किसी अंक या अंक-समूह के दाहिनी ओर शून्य
लगाने से उसके बायें के सभी अंकों का स्थानीय मान पहले का दस गुना हो जाता
है। वस्तुतः शून्य के बिना कोई भी स्थानीय मान पद्धति काम नहीं कर सकती।</li>
<li>
भारतीय अंकों के प्रयोग से अधिकांश गणितीय संक्रियाएँ (जोड़, घटाव,
गुणा, भाग, वर्गमूल आदि) करना बहुत सुविधाजनक है (रोमन आदि अन्य प्रणालियों
में यह सम्भव नहीं था).</li>
</ul>
</div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-89602446378196015992016-10-07T20:06:00.002+05:302016-10-07T20:18:21.716+05:30ABC अनुमान क्या है ?<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
गणित के अंतर्गत संख्या सिद्धांत में कई ऐसी अनसुलझी समस्याएँ हैं, जो अपनी बोधगम्यता और दुरूहता के कारण गणितज्ञों को शताब्दियों से आकर्षित और अचंभित करते आए हैं. ये समस्याएँ बोधगम्य इसलिए हैं कि इनके कथन गणित का साधारण ज्ञान रखने वाले व्यक्ति भी समझ सकते हैं और दुरूह इसलिए हैं कि गणित में वर्तमान में ज्ञात सिद्धांतों की सहायता से इन समस्याओं को हल करना अत्यंत कठिन प्रतीत होता है - कुछ समस्याओं को शताब्दियों बाद गणित की उच्चस्तरीय तकनीकों और सिद्धांतों की सहायता से सुलझाया जा सका है और कुछ समस्याएँ अभी भी शताब्दियों से अनसुलझे पड़े हैं. इन अनसुलझे समस्याओं में कुछ अभिनव समस्याएँ भी हैं. इन्हीं समस्याओं में एक अत्यंत रोचक समस्या है - $ABC$ अनुमान. इस अनुमान को फ़्रांसिसी गणितज्ञ <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Oesterl%C3%A9" target="_blank">Joseph Oesterlé</a> और बेसेल विश्वविद्यालय (University of Basel) के गणितज्ञ <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/David_Masser" target="_blank">David Masser</a> ने 1985 में प्रतिपादित किया था. हाल ही में, 2012 में क्योटो विश्विद्यालय में कार्यरत जापानी गणितज्ञ <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/%7Emotizuki/top-english.html" target="_blank">Shinichi Mochizuki </a>ने इस समस्या का हल प्रस्तावित किया है. कई वर्षों के एकांत शोध के पश्चात् उन्होनें लगभग 500 पृष्ठों में इस समस्या का हल प्रस्तुत किया है. यह शोध पत्र एक गणितीय शोध पत्रिका में प्रकाशनार्थ विचाराधीन है और विशेषज्ञ गणितज्ञ इस शोध पत्र के अध्ययन में रत हैं. उनके इस शोध कार्य को कुछ गिने - चुने गणितज्ञ ही कुछ हद तक समझ पाए हैं और गणितज्ञों का विश्वास है कि शोध पत्र में प्रस्तुत हल सही है. पूर्ण सत्यापन के पश्चात ही इसका प्रकाशन किसी शोध पत्रिका में किया जाएगा. <br />
<a name='more'></a></div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
$ABC$ अनुमान तीन धन पूर्णांकों $a, b$ और $c = a + b$ के अभाज्य गुणनखंडों (prime factors) के आमाप से संबंधित प्रश्नों पर विचार करता है. इसे हम आगे क्रमबद्ध तरीके से स्पष्ट करेंगे. <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/p/blog-page_19.html" target="_blank">अभाज्य संख्याएँ</a> (prime numbers) $1$ से बड़ी वैसी <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2014/08/blog-post_24.html" target="_blank">प्राकृत संख्याएँ</a> (natural numbers) हैं, जिनके गुणनखंड केवल $1$ और वही संख्या हैं. उदाहरण के लिए, $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ इत्यादि अभाज्य संख्याएँ हैं. यदि कोई अभाज्य संख्या $p$ धन पूर्णांक $a$ को विभाजित करता है, तो हम कहते हैं कि $p$ धन पूर्णांक $a$ का अभाज्य गुणनखंड है. एक से बड़ी किसी भी धन पूर्णांक को परिमित संख्या में अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीयतः लिखा जा सकता है. यह <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2015/03/fundamental-theorem-of-arithmetic.html" target="_blank"><i>अंकगणित का मूलभूत प्रमेय</i></a> (fundamental theorem of arithmetic) है. उदाहरण के लिए,</div>
<div style="text-align: justify;">
\[9 = 3^2, ~ 14 = 2\times 7, ~ 36 = 2\times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2, ~ 45 = 3\times 3 \times 5 = 3^2 \times 5.\] <br />
इस प्रकार किसी धन पूर्णांक के एक से अधिक अभाज्य गुणनखंड हो सकते हैं. यह भी ध्यान दीजिए कि किसी अभाज्य संख्या का केवल एक ही अभाज्य गुणनखंड होता है और यह गुणनखंड स्वयं वह अभाज्य संख्या होती है. यह तथ्य इस बात से स्पष्ट है कि कोई अभाज्य संख्या केवल $1$ और स्वयं से विभाजित होती है और परिभाषा के अनुसार $1$ अभाज्य संख्या नहीं है. उदाहरण के लिए, $5$ का अभाज्य गुणनखंड केवल $5$ है. $ABC$ अनुमान का कथन देने से पहले हमें एक परिभाषा की आवश्यकता है. एक धन पूर्णांक $36$ लीजिए. हमने ऊपर देखा कि इसके अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) $2^2 \times 3^2$ में केवल दो अभाज्य संख्याएँ सम्मिलित हैं: $2$ और $3$. इन दोनों अभाज्यों का गुणनफल $2 \times 3 = 6$ है. इसे हम $36$ का <i>मूलांश</i> (radical) कहते हैं. (मूलांश शब्द की व्याख्या लेख के अंत में की गई है.) इसी प्रकार $45$ का मूलांश $15$ है, क्योंकि इसके अभाज्य गुणनखंड $3^2 \times 5$ में केवल दो अभाज्य संख्याएँ $3$ और $5$ सम्मिलित हैं और $3 \times 5 = 15$. किसी धन पूर्णांक $a$ के मूलांश को सामान्यतः $rad(a)$ से व्यक्त किया जाता है. इस प्रकार $rad(36) = 6$ और $rad(45) = 15$. ध्यान दीजिए कि दो अलग - अलग संख्याओं के मूलांश समान हो सकते हैं, क्योंकि किसी संख्या का मूलांश उस संख्या के अभाज्य गुणनखंड में सम्मिलित केवल विविध अभाज्य संख्याओं पर निर्भर करता है, न कि उस गुणनखंड में किसी अभाज्य संख्या की बहुकता (multiplicity) अर्थात पुनरावृति संख्या पर. इस प्रकार $rad(36) = rad(72) = 6$, क्योंकि $72 = 2^3 \times 3^2$. परन्तु $36 \neq 72$. मूलांश की व्यापक परिभाषा हम नीचे दे रहे हैं:<br />
<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
मूलांश की परिभाषा<br />
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #38761d;">यदि एक से बड़ी किसी धन पूर्णांक $a$ का अभाज्य गुणनखंडन $p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_n^{e_n}$ हों, जहाँ $p_1, p_2, \ldots, p_n$ भिन्न - भिन्न अभाज्य संख्याएँ हों, तो</span><span style="color: #38761d;"> धन पूर्णांक $a$ के मूलांश को $rad(a)$ से व्यक्त करते हैं और इसे इस प्रकार परिभाषित करते हैं</span>: </div>
</blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
\[rad(a) = p_1 p_2 \cdots p_n.\] </div>
</blockquote>
<br /></div>
<br />
यदि दो धन पूर्णांकों के अभाज्य गुणनखंडन दिए हुए हों, तो इन संख्याओं के गुणनफल का अभाज्य गुणनखंडन आसानी से ज्ञात किया जा सकता है - हमें केवल दोनों अभाज्य गुणनखंडनों को गुणनफल के रूप में लिखना होता है. उदाहरण के लिए, $36 = 2^2 \times 3^2$ और $45 = 3^2 \times 5$. इसलिए<br />
\[36 \times 45 = 2^2 \times 3^2 \times 3^2 \times 5 = 2^2 \times 3^4 \times 5. \]<br />
अतः $rad(36 \times 45) = 2 \times 3 \times 5 = 30$. इस प्रकार यदि दो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन दिए हुए हों, तो इन संख्याओं के गुणनफल का मूलांश उन अभाज्य गुणनखंडों में आए अभाज्यों को देखकर ज्ञात किया जा सकता है.<br />
<br />
आइए, अब हम तीन धन पूर्णांक $a, b$ और $c = a + b$ लेते हैं. इन संख्याओं का गुणनफल $abc$ लीजिए. इसका मूलांश $rad(abc)$ ज्ञात कीजिए. अब कुछ महत्त्वपूर्ण प्रश्न उठते हैं:<br />
<ol>
<li>क्या $c = rad(abc)$ सत्य है ?</li>
<li>क्या $c > rad(abc)$ सत्य है ?</li>
<li>क्या $c < rad(abc)$ सत्य है ?</li>
<li>क्या उपरोक्त कथन परिमित संख्या में त्रिकों $(a, b, c)$ को छोड़कर अन्य त्रिकों के लिए सत्य हैं ? </li>
<li>क्या $c < (rad(abc))^x$ सत्य है, जहाँ $x > 1$ एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है ?</li>
</ol>
</div>
<div style="text-align: justify;">
आइए हम कुछ उदाहरणों की सहायता से इन प्रश्नों पर एक - एक कर विचार करते हैं. मान लीजिए, $a = b = 1, ~ c = a + b = 2$. तब $rad(abc) = 2 = c$. परन्तु यदि हम $a = 9, b = 5, c = 14$ लें, तो</div>
<div style="text-align: justify;">
\[rad(abc) = rad(9 \times 5 \times 14) = rad(3^2 \times 5 \times 2 \times 7) = 3 \times 5 \times 2 \times 7 = 210 > c = 14.\] </div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार हम देखते हैं कि कथन (1) सदैव सत्य नहीं होता है. इस उदाहरण से यह भी स्पष्ट होता है कि कथन (2) भी सत्य नहीं है. तो क्या कथन (3) सदैव सत्य होता है. अगला उदाहरण इस कथन को भी असत्य सिद्ध करता है. यदि हम $a = 3, ~ b = 125, ~ c= 128$ लें, तो </div>
<div style="text-align: justify;">
\[rad(abc) = rad(3 \times 125 \times 128) = rad(3 \times 5^3 \times 2^7) = 3 \times 5 \times 2 = 30 < c = 128.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
कथन (4) के विषय में हम क्या कह सकते हैं ? यह दिखाया जा सकता है कि ऐसे अनंततः अनेक त्रिक (a, b, c = a+ b) हैं, जो उपरोक्त तीनों कथनों को संतुष्ट नहीं करता है. अतः कथन (4) भी असत्य है. आइए हम कथन (5) पर विचार करते हैं. प्रश्न यह है कि क्या $c < (rad(abc))^x$ किसी वास्तविक संख्या $x > 1$ के लिए सदैव सत्य होता है. इस प्रश्न का उत्तर है - नहीं. उदाहरण के लिए, यदि हम $a = 3, ~ b = 125, ~ c= 128$ लें, तो हम देख चुके है कि $rad(abc) = 30 $. अब यदि हम $x = 2$ लें तो,</div>
<div style="text-align: justify;">
\[c = 128 < 900 = (rad(abc))^2,\]</div>
<div style="text-align: justify;">
परन्तु यदि हम $x = 4/3$ लें, तो </div>
<div style="text-align: justify;">
\[(rad(abc))^{4/3} = 30^{4/3} \approx 93.217 < 128 = c.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार हम देखते हैं कि उपरोक्त कथनों में से कोई भी कथन सत्य नहीं है. परन्तु हम कथन (5) में थोड़ा सा परिवर्तन करते हैं: क्या कथन (5) परिमित संख्या में त्रिकों $(a, b, c)$ को छोड़कर अन्य त्रिकों के लिए सत्य हैं ? वृहत पैमाने पर संख्यात्मक अभिकलनों के आधार पर प्रतीत होता है कि उपरोक्त प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है. यही $ABC$ अनुमान का कथन है, जिसकी उपपत्ति जापानी गणितज्ञ <a href="http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/%7Emotizuki/top-english.html" target="_blank">Shinichi Mochizuki</a> द्वारा प्रस्तावित की गई है और वर्तमान में इसका गहन परीक्षण हो रहा है. नीचे हम इस अनुमान का परिशुद्ध कथन दे रहे हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8865539858646484225" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><br />
$ABC$ अनुमान<br />
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
यदि $\epsilon > 0$ एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या हों, तो असमिका $c > (rad(abc))^{1 + \epsilon}$ को संतुष्ट करने वाले त्रिकों की संख्या परिमित होती है, जहाँ $a, b, c$ परस्पर असहभाज्य धन पूर्णांक हैं (अर्थात तीन में से किन्हीं भी दो धन पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक $1$ है) और $c = a + b$. अन्य सभी त्रिकों के लिए असमिका $c < (rad(abc))^{1 + \epsilon}$ सत्य होता है.</div>
</blockquote>
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार हम देखते हैं कि असमिका $c < (rad(abc))^{1 + \epsilon}$ को संतुष्ट नहीं करने वाले त्रिकों $(a, b, c)$ की संख्या परिमित होती है. ध्यान दें कि यह परिमित संख्या $\epsilon$ के अलग - अलग मान के लिए अलग - अलग हो सकता है. उदाहरण के लिए, यदि हम $\epsilon = 0.000001$ लें, तो असमिका $c < (rad(abc))^{1.000001}$ को प्रायः सभी त्रिक $(a, b, c = a+ b)$ संतुष्ट करेंगे, जहाँ $\gcd(a, b, c) = 1$ और वैसे त्रिकों $(a, b, c = a+ b), ~ \gcd(a, b, c) =1$ की संख्या परिमित होगी, जो इस असमिका को संतुष्ट नहीं करता है.<br />
<br />
इस अनुमान के कई तुल्य कथन हैं, जिसकी चर्चा हम यहाँ नहीं करेंगे. पाठक लेख के अंत में दिए गए संदर्भों से अत्यधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं.<br />
<br />
$ABC$ अनुमान के कई महत्त्वपूर्ण परिणाम है. इस अनुमान की उपपत्ति गणित के कई अन्य अनुमानों और प्रमेयों को सिद्ध करने में सक्षम हैं. यहाँ हम कुछ परिणामों पर ही चर्चा करेंगे. पाठक विकिपीडिया पृष्ठ <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture" target="_blank">$abc$ conjecture</a> पर<i> </i>विस्तृत जानकारी प्राप्त कर सकते हैं. इनमें से कुछ परिणामों की स्वतंत्र उपपत्तियाँ भी हैं. <i> </i> <br />
<ul>
<li><a class="mw-redirect" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Thue%E2%80%93Siegel%E2%80%93Roth_theorem" target="_blank" title="Thue–Siegel–Roth theorem">दुए- सिजेल- राॅथ प्रमेय (Thue–Siegel–Roth theorem)</a> (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#CITEREFBombieri1994" target="_blank">Bombieri 1994</a>)</li>
<li><a class="mw-redirect" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mordell_conjecture" target="_blank" title="Mordell conjecture">मोर्डेल अनुमान (Mordell conjecture</a>) ( <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings" target="_blank" title="Gerd Faltings">Gerd Faltings</a> द्वारा व्यापक उपपत्ति पहले ही दी जा चुकी है.) (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#CITEREFElkies1991" target="_blank">Elkies 1991</a>)</li>
<li>किसी भी आधार $b > 1$ में अनंततः अनेक <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wieferich_prime" target="_blank" title="Wieferich prime">अ-विफरिच अभाज्यों (non-Wieferich primes)</a> का अस्तित्व (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#CITEREFSilverman1988" target="_blank">Silverman 1988</a>).</li>
<li> <a class="mw-redirect" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Marshall_Hall%27s_conjecture" target="_blank" title="Marshall Hall's conjecture">मार्शल हॉल अनुमान (Marshall Hall's conjecture)</a> (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#CITEREFNitaj1996" target="_blank">Nitaj 1996</a>) का दुर्बल रूप.</li>
<li>यह <a class="mw-redirect" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Szpiro_conjecture" target="_blank" title="Szpiro conjecture">Szpiro अनुमान </a><a class="mw-redirect" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Szpiro_conjecture" title="Szpiro conjecture"> (Szpiro conjecture</a>)<sup> </sup>के तुल्य है (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#CITEREFOesterl.C3.A91988" target="_blank">Oesterlé 1988</a>).</li>
<li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem" target="_blank" title="Fermat's Last Theorem">फर्मा का अंतिम प्रमेय (Fermat's Last Theorem</a>), जिसे Andrew Wiles ने प्रमाणित किया था. </li>
<li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Beal_conjecture" target="_blank" title="Beal conjecture">बील अनुमान (Beal conjecture)</a>,जो फर्मा के अंतिम प्रमेय का व्यापकीकरण है.</li>
</ul>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>संदर्भ</b></div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
[1] <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture" target="_blank">$abc$ conjecture</a>, विकिपीडिया लेख : https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture</div>
</blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
[2] <a href="https://www.quantamagazine.org/20151221-hope-rekindled-for-abc-proof/" target="_blank">Hope Rekindled for Perplexing Proof</a>, QUANTA Magazine, https://www.quantamagazine.org/20151221-hope-rekindled-for-abc-proof/</blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
[3] Marianne Freiberger, <a href="https://plus.maths.org/content/easy-abc" target="_blank">Easy as ABC?</a>, +plus magazine, https://plus.maths.org/content/easy-abc</blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
<div class="small">
[4] <a href="http://mathworld.wolfram.com/about/author.html" target="_blank">Weisstein, Eric W.</a> "abc Conjecture." From
<a href="http://mathworld.wolfram.com/" target="_blank"><i>MathWorld</i></a>--A Wolfram Web Resource. <a href="http://mathworld.wolfram.com/abcConjecture.html" target="_blank">http://mathworld.wolfram.com/abcConjecture.html</a>
</div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8865539858646484225" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><br />
<b><u>"मूलांश" शब्द की व्याख्या</u></b><br />
<br />
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8865539858646484225" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8865539858646484225" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8865539858646484225" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8865539858646484225" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a>"मूलांश" शब्द संगत अंग्रेजी शब्द "radical" का हिंदी रूपांतरण है. इस शब्द की रचना लेखक द्वारा स्वयं की गई है. गणित में अंग्रेजी शब्द "radical" का प्रयोग "करणी" के अर्थ में भी किया जाता है. परन्तु यहाँ इसका अर्थ करणी से भिन्न अर्थ में किया गया है, जिसे हम परिभाषित कर चुके हैं. हिंदी में इस नए शब्द के निर्माण से अर्थों में आसानी से अंतर किया जा सकता है. इस शब्द की सार्थकता निम्नलिखित व्याख्या से स्पष्ट हो जाएगी. मूलांश का संधि-विच्छेद है: मूल + अंश. "मूल" शब्द इस अर्थ का द्योतक है कि मूलांश में केवल मूल संख्याएँ हैं, और ये मूल संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं, क्योंकि अभाज्य संख्याएँ ही किसी प्राकृत संख्या के गुणनखंड में मौलिक गुणनखंड होते हैं. "अंश" का तात्पर्य है कि मूलांश ज्ञात करने के क्रम में हम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में केवल भिन्न - भिन्न अभाज्य संख्याओं का ही गुणनफल लेते हैं और अभाज्य संख्याओं की पुनरावृत्ति पर ध्यान नहीं दिया जाता है. इस प्रकार मूलांश ज्ञात करने के क्रम में प्रायः हम दिए गए संख्या के अभाज्य गुणनखंडन के एक अंश का ही प्रयोग करते है. इस प्रकार "मूलांश" शब्द उचित प्रतीत होता है. पाठक इस विषय में अपना सुझाव दे सकते हैं.<br />
<br />
<br />
<b><u>संख्या सिद्धांत के अन्य अनुमान</u></b><br />
<ul>
<li><h3 class="post-title entry-title" itemprop="name">
<a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2015/02/collatz-conjecture.html" target="_blank">कोलाज़ अनुमान (Collatz Conjecture) </a></h3>
</li>
<li><h3 class="post-title entry-title" itemprop="name">
<a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2015/02/goldbach-conjecture.html" target="_blank">गोल्डबाख़-अनुमान (Goldbach's Conjecture) </a></h3>
</li>
<li><h3 class="post-title entry-title" itemprop="name">
<a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2015/02/twin-prime-cnjecture.html" target="_blank">जुड़वाँ अभाज्य अनुमान (Twin Prime Cnjecture)</a> </h3>
</li>
</ul>
</div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-74793943029251474352016-09-20T21:07:00.000+05:302018-08-08T11:51:31.330+05:30लघुगणक सारणी के प्रयोग के बिना अभिकलन<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<i>संख्यात्मक अभिकलनों से संबंधित कुछ ऐसी समस्याएँ हैं, जिन्हें हम लघुगणक की सहायता से आसानी से हल कर सकते हैं. उदाहरण के लिए, किसी संख्या का वर्गमूल, घनमूल, पंचमूल,......, nवाँ मूल ज्ञात करने की समस्या; किसी संख्या का घात ज्ञात करने की समस्या, इत्यादि. इन समस्याओं को हल करने के क्रम में हम या तो लघुगणक सारणी का प्रयोग करते हैं या परिकलक (कैलकुलेटर) या संगणक (कम्प्यूटर) का. क्या कभी आपने सोचा है कि परिकलक या संगणक लघुगणक का मान कैसे ज्ञात करता है ? वह कौन सी प्रक्रिया है, जिसकी सहायता से संख्याओं के लघुगणक का मान ज्ञात कर लघुगणक सारणी के रूप में सारणीबद्ध किया गया ? यदि आप यह प्रक्रिया जान जाएँ, तो आप बिना किसी लघुगणक सारणी, परिकलक या संगणक की सहायता से किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात कर सकते हैं. इन प्रक्रियाओं में हमें केवल योग, गुणन, व्यवकलन और विभाजन की संक्रियाओं का ही प्रयोग करना पड़ता है, जिन्हें आसानी से किया जा सकता है. प्रस्तुत लेख में हम इसी विषय पर चर्चा करेंगे.</i></div>
</blockquote>
<a name='more'></a><br />
<span style="font-size: large;"><b>लघुगणक क्या है?</b></span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
लघुगणक को परिभाषित करने से पहले हम कुछ समस्याओं पर विचार करते हैं. अगर आपसे पुछा जाए कि $10^3$ का मान क्या होगा, तो आप इसका परिकलन शीघ्र ही कर लेते हैं : $10^3 = 10 \times 10\times10 = 1000$. अत्यधिक व्यापक रूप में आप किसी पूर्णांक $a$ और धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $a^n$ का मान $a$ को $n$ बार गुणा करके ज्ञात कर सकते हैं, अर्थात,</div>
<div style="text-align: justify;">
\[a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n ~~\text{बार}}.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
अब अगर आपसे पूछा जाए कि $10^{1.7}$ का मान क्या होगा, तो आप उपरोक्त विधि से इसका मान ज्ञात नहीं कर पाएँगे. क्यों ? क्योंकि $1.7$ बार गुणा करने का कोई अर्थ प्रतीत नहीं होता है? अर्थात $\underbrace{10 \times \cdots \times 10}_{1.7 ~~\text{बार}}$ का कोई अर्थ नहीं है. तब प्रश्न उठता है कि इस घातांक का क्या अर्थ है. यह बहुत ही गूढ़ प्रश्न है. इस प्रश्न का उत्तर हम यहाँ नहीं देंगे, क्योंकि इसे समझने के लिए हमें गणित के उच्चस्तरीय पाठ्यक्रम वास्तविक विश्लेषण के अंतर्गत अनुक्रम और उसके अभिसरण तथा वास्तविक संख्याओं के सृजन की विधियों का ज्ञान आवश्यक है. वास्तव में गणित में किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल को परिभाषित करना एक गूढ़ विषय है और इसे भी समझने के लिए उपरोक्त विषयों का ज्ञान आवश्यक है. उदाहरण के लिए,हम $2\times 3$ का मान $2$ को तीन बार जोड़ कर ज्ञात कर सकते हैं, अर्थात $2 \times 3 = 2 + 2 + 2 = 6$. व्यापक रूप में, यदि $a$ और $m$ धनात्मक पूर्णांक हों, तो $a \times m$ का मान हम $\underbrace{a + \cdots + a}_{m~~\text{बार}}$ का परिकलन करके कर सकते हैं. परन्तु यदु हमें $2 \times 3.7$ का मान ज्ञात करना हो, तो हम क्या करेंगे? हम उपरोक्त योग की प्रक्रिया द्वारा इसका मान ज्ञात नहीं कर सकते हैं, क्योंकि $\underbrace{2+ \cdots + 2}_{3.7~~\text{बार}}$ का कोई अर्थ नहीं है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
आइए, अब एक दूसरी समस्या पर विचार करते हैं. अगर आपसे पूछा जाए कि $10$ का कौन सा घात $1000$ होता है, तो आपका उत्तर होगा: $3$, क्योंकि $10^3 = 1000$. इसी प्रकार यदि आपसे पूछा जाए कि $2$ का कौन सा घात $32$ होगा तो आपका उत्तर होगा: $5$, क्योंकि $2^5 = 32$. परन्तु यदि आपसे पुछा जाए कि $2$ का कौन सा घात $31$ होगा या $10$ का कौन सा घात $997$ होगा, तो आप अटक जाएँगे, क्योंकि ऐसी कोई धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ $m$ और $n$ नहीं हैं जिससे कि $2^m$ का मान $31$ और $10^n$ का मान $997$ हों. अत्यधिक व्यापक रूप में, यदि वास्तविक संख्याएँ $a$ और $m$ दिए हुए हों, तो चर $x$ के लिए समीकरण $a^x = m$ को हल करना सदैव आसान नहीं होता है. तब प्रश्न यह उठता है कि इस समस्या को कैसे हल करें. इन समस्याओं को ही हल करने के लिए हम लघुगणक का प्रयोग करेंगे.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
आइए, अब लघुगणक को परिभाषित करने का प्रयास करते हैं. आपने देखा कि समीकरण $10^x =1000$ का हल $x = 3$ होता है. इस स्थिति में हम लिखते हैं कि $\log_{10}1000 = 3$ और इसे पढ़ते हैं: आधार $10$ पर $1000$ का लघुगणक $3$ है. यहाँ $\log$ हिंदी शब्द लघुगणक के अंग्रेजी शब्द logarithm का संक्षिप्त रूप है. इस प्रकार हम समीकरण $10^x = 1000$ के हल को इस रूप में लिख सकते हैं: $x = \log_{10}1000$. इसी प्रकार समीकरण $2^x = 32$ के हल को हम $x = \log_{2}32$ के रूप में लिख सकते है. हमने देखा है कि $2^5 = 32$, अतः $\log_{2}32 = 5$ होगा और इस प्रकार समीकरण $2^x = 32$ का हल $x = 5$ होगा. अत्यधिक व्यापक रूप में समीकरण $a^x = m$ के हल को $x = \log_{a}m$ के रूप में लिखा जा सकता है. आइए अब हम लघुगणक की परिशुद्ध परिभाषा देते हैं: </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
लघुगणक की परिभाषा<br />
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #38761d;">मान लीजिए $a$ और $m$ वास्तविक संख्याएँ है, जहाँ $a > 0$ और $a \neq 1$. यदि किसी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $a^x = m$ हों, तो संख्या $x$ को आधार $a$ पर $m$ का लघुगणक कहा जाता है और इसे संकेत में $x = \log_am$ लिखते हैं. यहाँ $a$ को लघुगणक का आधार कहा जाता है.</span></div>
</blockquote>
<br /></div>
<br />
<div style="background: rgb(255,228,225) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: darkgreen;"><span style="color: #38761d;">ध्यातव्य:</span></span></div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><span style="color: #fff2cc;"><span style="color: #cfe2f3;"><span style="color: #38761d;">परिभाषा के अनुसार, आधार $a$ पर $m$ का लघुगणक $\log_a m$ समीकरण $a^x =m$ का हल होता है. अर्थात यदि हम इस समीकरण में $x$ के स्थान पर $\log_a m$ प्रतिस्थापित करें, तो समीकरण संतुष्ट होता है: $a ^{\log_a m} = m$. इसे एक सूत्र के रूप में याद रखें. उदाहरण के लिए, $2^{\log_2 32} = 32$.</span></span></span></li>
<span style="color: #fff2cc;"><span style="color: #cfe2f3;"> </span></span>
<li><span style="color: #fff2cc;"><span style="color: #cfe2f3;"><span style="color: #38761d;">ध्यान दें कि आधार $a=1$ नहीं लिया जा सकता है, क्योंकि यदि $a = 1$ तो $\log_1 m$ सदैव परिभाषित नहीं होता है. यह केवल $m = 1$ के लिए परिभाषित है. क्यों ? मान लीजिए $\log_1 m = x$, तब परिभाषा के अनुसार, $1^x = m$. अब हम $x$ का कोई भी मान क्यों न लें, $1^x$ का मान सदैव $1$ होगा. अतः यदि $m = 1$, तो इस समीकरण का हल $x = 1$ होगा. परन्तु यदि $m \geq 2$, तो इस समीकरण का कोई हल नहीं होगा. उदाहरण हेतु $m = 5$ लेकर देखें. यही कारण है कि लघुगणक की परिभाषा में आधार $a = 1$ नहीं लिया जाता है.</span></span></span></li>
<span style="color: #fff2cc;"><span style="color: #cfe2f3;"> </span></span>
<li><span style="color: #fff2cc;"><span style="color: #cfe2f3;"><span style="color: #38761d;">लघुगणक की परिभाषा में हम आधार को शून्य नहीं ले सकते हैं, क्योंकि शून्य का कोई भी घात शून्य ही होता है. इस प्रकार यदि $m$ शून्य नहीं हों, तो $\log_0 m$ परिभाषित नहीं होगा और यदि $m$ शून्य हों, तब भी $\log_0 0$ का कोई निश्चित मान नहीं दिया जा सकता, क्योंकि $0^x = 0$ के अनंत हल है. कोई भी धनात्मक संख्या इसका हल होता है. </span></span></span></li>
<span style="color: #fff2cc;"><span style="color: #cfe2f3;"> </span></span>
<li><span style="color: #fff2cc;"><span style="color: #cfe2f3;"><span style="color: #38761d;">इसी प्रकार लघुगणक की परिभाषा में आधार $a$ का ऋणात्मक मान नहीं लिया जा सकता, क्योंकि यदि $a$ ऋणात्मक हों, तो समीकरण $a^x$ सदैव परिभाषित नहीं होता है. उदाहरण के लिए, $a = -3$ और $x = 0.5$ के लिए, $a^x$ परिभाषित नहीं है.</span></span></span></li>
<li><span style="color: #fff2cc;"><span style="color: #cfe2f3;"><span style="color: #38761d;">ध्यान दें कि $\log_a1 = 0$ और $\log_a a = 1$ होता है, जहाँ $a$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है और $a \neq 1$.</span></span></span></li>
<li><span style="color: #fff2cc;"><span style="color: #cfe2f3;"><span style="color: #38761d;">लघुगणक की परिभाषा से स्पष्ट है कि $\log_a m = x$ यदि और केवल यदि $a^x = m$.</span></span></span></li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkbVzfT0FFKbLZc5x3rBjVFpzjO0winI4hCyQCNuvOBcnpqS_IC51vjJORhiGZLmQIC5AQJdJt92zpXuvQXW-CjNAFV8l4N_RE9nyIsnWJiCnk76XlNZ9ysfTH1yc6DUynAn2zRM29jhBf/s1600/log.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="338" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkbVzfT0FFKbLZc5x3rBjVFpzjO0winI4hCyQCNuvOBcnpqS_IC51vjJORhiGZLmQIC5AQJdJt92zpXuvQXW-CjNAFV8l4N_RE9nyIsnWJiCnk76XlNZ9ysfTH1yc6DUynAn2zRM29jhBf/s640/log.png" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">ln(x) का ग्राफ</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div style="text-align: justify;">
आइए, अब हम पूर्व में पूछे गए एक प्रश्न पर फिर से विचार करते हैं. हमारा प्रश्न था: $2$ का कौन संख्या घात $31$ होगा ? बीजगणितीय भाषा में हम चर $x$ का ऐसा मान ज्ञात करना चाहते हैं जिससे कि $2^x = 31$ हों. लघुगणक की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए हम कह सकते हैं कि $x = \log_2 31$. परन्तु अब समस्या यह है कि इस $\log_2 31$ का मान कैसे ज्ञात किया जाए ? अगले अनुच्छेद में हम इसी विषय पर चर्चा करने जा रहे हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>लघुगणक का परिकलन</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
इस अनुच्छेद में हम लघुगणक सारणी का प्रयोग किए बिना लघुगणक ज्ञात करने की विधि पर चर्चा करेंगे. इस उद्देश्य हेतु हम लघुगणक के कुछ महत्त्वपूर्ण गुणधर्मों का प्रयोग करेंगे. इन गुणधर्मों की उपपत्ति हम नहीं देंगे. जिज्ञासु पाठक इन गुणधर्मों की उपपत्तियाँ <a href="http://www.ssa.mp.gov.in/TextBooks/TextBooks/Maths/Class-9/Lesson-6.pdf" target="_blank">यहाँ</a> देख सकते हैं. साथ ही इस सामग्री को पढ़कर लघुगणक सारणी के प्रयोग से पुनः परिचित हो सकते हैं, जो इस लेख को समझने में सहायक सिद्ध हो सकती है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
गुणधर्म $1$</div>
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
दो संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक उन संख्याओं के लघुगणकों का योग होता है.अर्थात् <br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: center;">
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
\[\log_a (mn) = \log_a m + \log_a n.\]</div>
</blockquote>
</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #38761d;">यह संबंध दो से अधिक संख्याओं के लिए भी सत्य हैं.</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #38761d;">\[\log_a(m_1 m_2 \cdots m_k) = \log_a m_1 + \log_a m_2 + \cdots + \log_a m_k.\]</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #38761d;">इस गुणधर्म की एक विशेष स्थिति है:</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #38761d;">\[\log_a (m^n) = n \log_a m.\]</span></div>
<span style="color: #38761d;"><br /></span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
गुणधर्म $2$<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
दो संख्याओं के अनुपात का लघुगणक उन संख्याओं के लघुगणकों का अंतर होता है.अर्थात् <br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: center;">
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
\[\log_a \left(\frac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n.\] </div>
</blockquote>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
गुणधर्म $3$</div>
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
यह गुणधर्म लघुगणक का आधार परिवर्तन करने में सहायक है.<br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: center;">
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
\[\frac{\log_a m}{\log_a n.} = \log_n m\]</div>
</blockquote>
इसे इस रूप में भी याद रखा जा सकता है:<br />
\[\log_a m =(\log_a n) (\log_n m).\]</div>
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #38761d;">मान
लीजिए $a$ और $m$ वास्तविक संख्याएँ है, जहाँ $a > 0$ और $a \neq
1$. यदि किसी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $a^x = m$ हों, तो संख्या $x$ को
आधार $a$ पर $m$ का लघुगणक कहा जाता है और इसे संकेत में $x = \log_am$
लिखते हैं. यहाँ $a$ को लघुगणक का आधार कहा जाता है.</span></div>
</blockquote>
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
हम मुख्यतः पहले दो गुणधर्मों का उपयोग करेंगे. यदि लघुगणक का आधार $10$ हों, तो हम $\log_{10}m$ के स्थान पर केवल $\log m$ लिखेंगे. आधार दस वाले लघुगणक को <i>सामान्य लघुगणक</i> (Common Logarithm) कहा जाता है. विशुद्ध गणित में लघुगणक का आधार प्रायः $e$ लिया जाता है, जो एक अपरिमेय संख्या है और इसका सन्निकट मान $ 2.71828$ होता है. इस स्थिति में हम $\log_{e}m$ के स्थान पर सामान्यतः $\ln m$ लिखते हैं. आधार $e$ वाले लघुगणक को <i>प्राकृतिक लघुगणक</i> (Natural Logarithm) कहा जाता है. यहाँ पर हम लघुगणक का परिकलन आधार $10$ पर करेंगे. किसी एक आधार पर लघुगणक का मान ज्ञात रहने पर गुणधर्म $3$ की सहायता से हम अन्य आधार पर भी लघुगणक का मान आसानी से परिकलित कर सकते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
मान लीजिये हमें $\log m$ का मान ज्ञात करना है. हम $m$ को निम्नलिखित रूप में लिखते है: </div>
<div style="text-align: justify;">
\[m = n \times 10^p,\]</div>
<div style="text-align: justify;">
जहाँ $p$ एक पूर्णांक है और या $0 \leq n < 1$ या $1 < n < 2$ . उदाहरण के लिए, हम $31$ को $0.31 \times 10^{2}$ के रूप में, $0. 0023$ को $0.23 \times 10^{-2}$ के रूप में, $15. 324$ को $0. 15324 \times 10^{2}$ के रूप में या $1.5324 \times 10$ के रूप में लिख सकते हैं, इत्यादि. तब हम गुणधर्म $1$ की सहायता से $\log m$ को निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\log m = \log (n \times 10^p) = \log n + \log (10^p) = \log n + p \log 10 = \log n + p,\]<br />
क्योंकि $\log 10 = 1$. अतः यदि हम किसी विधि से $\log n$ का मान ज्ञात करसके तो हम इसमें $p$ जोड़कर $\log m $ का मान ज्ञात कर सकते हैं. उदाहरण के लिए,<br />
\[\log 31 = \log (0.31 \times 10^2) = \log(0.31) + \log(10^2) = \log (0.31) + 2 \log10 = \log(0.31) + 2.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार हमारे समस्या $1$ से छोटी धनात्मक संख्याओं का लघुगणक ज्ञात करने की समस्या में रूपांतरित हो जाती है. आधार परिवर्तन सूत्र की सहायता से हम लिख सकते हैं कि<br />
\[\log n = \log_{10}n = \frac{\log_e n}{\log_e 10} = \frac{\ln n}{\ln 10}.\]<br />
इस प्रकार यदि हमें $\ln n$ और $\ln 10$ का मान ज्ञात हों, तो हम $\log n$ का मान आसानी से ज्ञात कर सकेंगे. अब यहाँ पर निम्नलिखित सूत्रों का प्रयोग करेंगे:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
सूत्र $1$<br />
<br />
यदि $x$ एक वास्तविक संख्या हो और $0 < x < 1$, तो<br />
\[\ln (x) = -\left[(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2} + \frac{(1-x)^3}{3} + \cdots + \frac{(1-x)^k}{k} + \cdots\right].\]<br />
<br /></div>
<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
सूत्र $2$<br />
<br />
यदि $x$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या हो, तो<br />
\[\ln (x) = 2\left[\frac{x -1}{x +1}+ \frac{1}{3}\left(\frac{x -1}{x +1}\right)^3+\frac{1}{5}\left(\frac{x -1}{x +1}\right)^5 + \cdots + \frac{1}{2k+1}\left(\frac{x -1}{x +1}\right)^{2k+1} + \cdots\right].\]<br />
<br /></div>
<br />
ध्यान दें सूत्र $1$ और सूत्र $2$ अनंत पदों का योगफल है. हम इन सूत्रों में परिमित संख्या में पदों का प्रयोग करके $\ln(x)$ का सन्निकट मान ज्ञात कर सकते हैं. हम जितनी अधिक संख्या में पदों का प्रयोग करेंगे, परिकलित मान सही मान के उतना ही ज्यादा नजदीक होगा. यदि $x$ का मान $1$ के काफी नजदीक हों तो सूत्र $2$ का प्रयोग करना उत्तम होगा.<br />
<br />
उपरोक्त सूत्र की सहायता से $\ln 10$ का सन्निकट मान आसानी से ज्ञात किया जा सकता है और यह मान है $\ln10 \approx 2.3025850929940457 \approx 2.3026$. तब $\frac{1}{\ln 10}$ का सन्निकट मान $0.4342944819032518 \approx 0.43423$ होगा. क्योंकि इन मानों की सदैव आवश्यकता होगी, अतः इन्हें याद कर लिया जाना चाहिए. अब हम लिख सकते हैं कि<br />
\[\log n = \frac{\ln n}{\ln 10} \approx 0.4343 \ln n. \]<br />
<div style="text-align: justify;">
इसलिए<br />
\[\log m = \log n + p \approx 0.4343 \ln n + p .\]<br />
हम $\ln n $ का सन्निकट मान उपरोक्त सूत्रों की सहायता से ज्ञात कर सकते हैं. इस प्रकार हम $\log m$ का सन्निकट मान लघुगणक सारणी के प्रयोग के बिना ज्ञात कर सकते हैं. इसे हम कुछ उदाहरणों के द्वारा स्पष्ट करेंगे.<br />
<br />
<b>उदाहरण $1:$</b> <i>$\log_2 31$ का मान ज्ञात करना.</i><br />
<br />
<b>हल:</b> $\log_2 31 = \frac{\log 31}{\log 2}$.<br />
अब $\log 31 = \log(0.31 \times 10^2) = \log (0.31) + 2 = 0.4343 \ln (0.31) + 2 $.<br />
<br />
$20$ पदों तक सूत्र $1$ का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:<br />
\[\ln(0.31) = -1.171125\]<br />
जो दशमलव के चार स्थानों तक शुद्ध है. इसलिए<br />
\[\log 31 = 0.4343 \times (-1.171125) + 2 = 1.491361\]<br />
जो दशमलव के चार स्थानों तक शुद्ध है. पुनः $20$ पदों तक सूत्र $1$ का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होगा:<br />
\[\log 2 = \log (0.2 \times10) = \log(0.2)+1 = 0.4343 \ln (0.2) + 1 = 0.4343(-1.60754) + 1 = 0.30184\]<br />
जो दशमलव के तीन स्थानों तक शुद्ध है. अतः<br />
\[\log_2 31 = \frac{\log 31}{\log 2} = \frac{1.49136}{0.30184} = 4.94089\]</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
जो दशमलव के एक स्थान तक शुद्ध है. वास्तविक मान $4.95419$ है. यदि सूत्र में अधिक पदों का प्रयोग किया जाए, तो अधिक शुद्ध मान प्राप्त होगा.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<b>उदाहरण $2:$</b> <i>$\log 997$ का मान ज्ञात करना.</i><br />
<br />
<b>हल:</b> सूत्र $1$ के चार पदों का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:<br />
\[\log 997 = \log (0.997 \times 10^3) = 3 + \log (0.997) = 3 + 0.4343 \ln(0.997) = 3 + 0.4343 \times 0.003 = 2.9986971\]</div>
<div style="text-align: justify;">
जो दशमलव के पाँच स्थानों तक शुद्ध है. इसका वास्तविक मान $2.99869515$ है.<br />
<br />
ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्रों का प्रयोग करने पर हम लघुगणक सारणी का प्रयोग करने से तो बच जाते हैं, परन्तु हमें जटिल गुणन और भाग की संक्रियाओं से गुजरना होता है, जिसमें समय की ज्यादा खपत हो सकती है. साथ ही प्राप्त मान की शुद्धता अनंत श्रेणी में लिए गए पदों की संख्या पर निर्भर करती है. हम जितनी अधिक संख्या में पद लेंगे, प्राप्त मान की परिशुद्धता उतनी ही अधिक होगी. अब एक महत्त्वपूर्ण प्रश्न यह है कि यदि हम दशमलव के कुछ नियत स्थानों तक ( मान लीजिये पाँच स्थानों तक ) मान प्राप्त करना कहते हैं, तो हमें श्रेणी के कितने पद लेने होंगे. इस प्रश्न का उत्तर है, परन्तु विषयांतर होने के कारण यहाँ पर चर्चा करना संभव नहीं है. यह संख्यात्मक विश्लेषण (Numerical Analysis) के अंतर्गत त्रुटि विश्लेषण (Error Analysis) का विषय है. एक और उल्लेखनीय बात है कि अत्यधिक परिशुद्ध मान प्राप्त करने के लिए कई प्रकार की श्रेणियाँ हैं और अन्य कई प्रकार की विधियाँ हैं, जिनकी चर्चा हम नहीं करेंगे. हमारा उद्देश्य एक वैकल्पिक विधि प्रस्तुत करना था, जिसमें कुछ सूत्रों को याद रखके सन्निकट मान ज्ञात किया जा सके.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि</b></span><span style="font-size: large;"><br /></span><br />
<br />
<i>प्रतिलघुगणक</i> (Antilogarithm) परिभाषित करने से पहले हम इस लेख के आरंभ में उठाए गए एक प्रश्न पर विचार करते हैं. वहाँ हमने कहा था कि $10^{1.7}$ का मान सामान्य विधि से ज्ञात नहीं किया जा सकता है. इसे ज्ञात करने के लिए हमें निम्नलिखित सूत्रों की आवश्यकता होगी.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
सूत्र $3$<br />
<br />
यदि $x$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या हो और $y$ कोई वास्तविक संख्या हो, तो<br />
\[x^y = e^{y \ln x}.\]</div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
सूत्र $4$<br />
<br />
यदि $x$ एक वास्तविक संख्या हो, तो<br />
\[e^x = \sum_{k =0}^{\infty}x^k = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+ \cdots + \frac{x^k}{k!} + \cdots,\] <br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
जहाँ $k! = k(k-1)(k-2)\cdots3\cdot2\cdot1$.</div>
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<br />
उपरोक्त सूत्र $3$ के अनुसार, $10^{1.7} = e^{1.7 \ln 10}$. क्योंकि $\ln 10$ का मान हम ज्ञात कर सकते हैं, सूत्र $4$ में x के स्थान पर $1.7 \ln 10$ प्रतिस्थापित कर पर्याप्त संख्या में पदों को लेकर $10^{1.7}$ का मान आसानी से ज्ञात किया जा सकता है. हम यहाँ परिकलन नहीं करेंगे. पाठक स्वयं परिकलन कर जाँच कर सकते हैं.<br />
<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
प्रतिलघुगणक की परिभाषा<br />
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
यदि आधार $a$ पर किसी वास्तविक संख्या $m$ का
लघुगणक $x$ हो, तो $m$ को उसी आधार पर $x$ का प्रतिलघुगणक कहा जाता है. इसे
हम $\text{Antilog}_a x = m$ लिखते हैं और कहते हैं कि आधार $a$ पर $x$ का
प्रतिलघुगणक $m$ है. दुसरे शब्दों में, कोई वास्तविक संख्या $m$ किसी अन्य
वास्तविक संख्या $x$ का प्रतिलघुगणक होता है यदि $\log_a m = x$. लघुगणक
की परिभाषा से हम जानते हैं कि $\log_a m = x$ यदि और केवल यदि $a^x = m$.
इस प्रकार $\text{Antilog}_a x = m = a^x$. अतः आधार $a$ पर $x$ का प्रतिलघुगणक ज्ञात करने का अर्थ है $a^x$ का मान ज्ञात करना.</div>
</blockquote>
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<br />
ध्यान दें कि $\text{Antilog}_a(\log_a m) = m$. अतः किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात कर पुनः उसका प्रतिलघुगणक ज्ञात करने पर वही संख्या प्राप्त हो जाती है, जो प्रतिलघुगणक नाम को स्पष्ट करता है. इस प्रकार प्रतिलघुगणक लघुगणक की विपरीत प्रक्रिया है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
यदि प्रतिलघुगणक का आधार $10$ हो, तो इसे हम सामान्य प्रतिलघुगणक कहते हैं और किसी धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ के सामान्य प्रतिलघुगणक को संकेत $\text{Antilog}~x$ से निरूपित करते हैं. यदि प्रतिलघुगणक का आधार $e$ हो, तो इसे हम प्राकृतिक प्रतिलघुगणक कहेंगे और किसी धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ के प्राकृतिक प्रतिलघुगणक को $\text{Antiln}~x$ से व्यक्त करेंगे. यह भी ध्यान दें कि $\text{Antilog}~x = 10^x$ और $\text{Antiln}~x = e^x$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
अब हम एक उदाहरण की सहायता से इसी समझने का प्रयास करेंगे. हम $3^{1/5}$ का मान ज्ञात करना चाहते हैं. मान लीजिए इसका मान $x$ है. तब $x = \text{Antiln}(\ln x) = \text{Antiln}(\ln x) = e^{\ln x} = e^{\ln(3^{1/5})} = e^{\frac{1}{5}\ln 3}$. क्योंकि हम $\ln 3$ का मान सूत्र की सहायता से ज्ञात कर सकते हैं और हमें $e^x$ का भी सूत्र ज्ञात है, हम $x$ का मान ज्ञात कर सकते हैं.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-77618779309143255842016-08-21T12:30:00.000+05:302016-09-27T12:55:52.318+05:30रचनीय संख्याओं का विलक्षण संसार<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
<span style="color: #38761d;"><i>प्राचीन ग्रीसवासी ज्यामितीय रचनाओं में विशेष रुचि रखते थे. वे विशेषकर वैसी रचनाओं में रुचि रखते थे, जिनकी रचनाएँ केवल पैमाने (जिसपर केवल इकाई दूरी अंशांकित हों) और परकार की सहयता से किया जा सके. उन्हें समबाहु त्रिभुज, वर्ग, समपंचभुज, समषट्भुज इत्यादि की रचनाओं का ज्ञान था. उन्हें किसी कोण को समद्विभाजित करने का भी ज्ञान था. परन्तु, समसप्त्भुज की रचना कैसे की जाए या किसी कोण को कैसे समत्रिभाजित किया जाए - इनके बारे में उन्हें कोई जानकारी नहीं थी. इसके अतिरिक्त ज्यामितीय रचनाओं से संबंधित कुछ और भी समस्याएँ थीं, जो उनके लिए असाध्य थीं. जैसे कि किसी वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर वर्ग की रचना या किसी घन के आयतन के दुगुने आयतन वाले घन की रचना, इत्यादि. इन समस्याओं ने गणितज्ञों को 2000 वर्षों तक उलझाए रखा. इन समस्याओं का समाधान 19वीं शताब्दी में संभव हो सका, जब इन ज्यामितीय समस्याओं को बीजगणितीय समस्याओं के रूप में परिवर्तित किया गया. वास्तव में उपरोक्त समस्याओं की रचनाएँ संभव नहीं है. अतः इन रचनाओं में मिली असफलता स्वाभाविक थी. बीजगणित के माध्यम से इन समस्याओं के अध्ययन के क्रम में दो नई प्रकार की संख्याओं का उद्गम हुआ - रचनीय संख्याएँ और अरचनीय संख्याएँ. प्रस्तुत लेख में हम इन विषयों पर विस्तार से चर्चा करेंगे. </i></span></blockquote>
</div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj85cFSwQu65Kb-okD2Wqq52sfIofHDdhpYKYiUg_sFSieSJ3QXvZ-UTREYvRaJkUUIsHjzyym2R_qr9D3MQuXMnzFKYaYRngIRuVycNNLz_gA2WFUadkPguBKro8NwrWCBx3Fif1ZkbheX/s1600/constructible.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj85cFSwQu65Kb-okD2Wqq52sfIofHDdhpYKYiUg_sFSieSJ3QXvZ-UTREYvRaJkUUIsHjzyym2R_qr9D3MQuXMnzFKYaYRngIRuVycNNLz_gA2WFUadkPguBKro8NwrWCBx3Fif1ZkbheX/s320/constructible.gif" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 1: वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण</td></tr>
</tbody></table>
वास्तविक संख्याओं को उनके लक्षणों के आधार पर कई वर्गों में वर्गीकृत किया जा सकता है. उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं को विभाज्यता के आधार पर सम (even) और विषम (odd) संख्याओं में, गुणनखंड के आधार पर अभाज्य (prime) और भाज्य (composite) संख्याओं में, परिमेयता के आधार पर परिमेय (rational) और अपरिमेय (irrational) संख्याओं में वर्गीकृत किया जा सकता है. आइए, हम वास्तविक संख्याओं के एक अन्य लक्षण पर विचार करते हैं. यह लक्षण है - रचनीयता. इस लक्षण के आधार पर हम वास्तविक संख्याओं को दो प्रकार की संख्याओं में वर्गीकृत करते हैं - <span style="color: red;"><span style="color: #cc0000;"><i>रचनीय संख्याएँ</i></span> </span>(constructible numbers) और <span style="color: #cc0000;"><i>अरचनीय संख्याएँ</i></span> (non-constructible numbers). जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है - रचनीय संख्या का अर्थ है - वैसी संख्या
जिसकी रचना की जा सके. रचना से हमारा तात्पर्य है - वास्तविक संख्या रेखा
(real number line) पर किसी संख्या का ज्यामितीय निरूपण. इन संख्याओं की
रचना हेतु हम केवल दो ज्यामितीय उपकरणों - पैमाना (ruler) और परकार
(compass) का प्रयोग करेंगे. इस पैमाने पर केवल इकाई दूरी (unit length) और
इसके पूर्णांकीय दूरी अंशांकित होंगे (चित्र - 2 देखें). सैद्धांतिक रूप
से हम इस पैमाने को अनंत लम्बाई वाला मान सकते हैं. इस प्रकार रचनीय संख्याओं को हम निम्न प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<blockquote class="tr_bq">
<span style="color: red;"><i><span style="color: #cc0000;">रचनीय संख्याएँ वैसी वास्तविक संख्याएँ हैं, जिनका ज्यामितीय निरूपण संख्या रेखा पर केवल उपरोक्त वर्णित पैमाना और परकार की सहायता से किया जा सके. वैसी संख्याएँ जो रचनीय संख्याएँ नहीं हैं, अरचनीय संख्याएँ कहलाती हैं.</span></i></span><br />
<a name='more'></a></blockquote>
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVoWKNmTcqht24qANIpy8qQN_L7sNTbqe_Zso1qwwxCowtyU83vqRG0ztY7PKMood0LuG6wzXQLGzojGtYyYuxORgW-JAlBgKN3lNPFElB0DTWxySfbC7F67-MDb0Z5kuCPvjjAgwbPKiL/s1600/ruler-compass.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="390" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVoWKNmTcqht24qANIpy8qQN_L7sNTbqe_Zso1qwwxCowtyU83vqRG0ztY7PKMood0LuG6wzXQLGzojGtYyYuxORgW-JAlBgKN3lNPFElB0DTWxySfbC7F67-MDb0Z5kuCPvjjAgwbPKiL/s640/ruler-compass.png" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 2: पैमाना और परकार</td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr>
</tbody></table>
क्या अब आप कुछ रचनीय संख्याओं का उदाहरण दे सकते हैं ? पूर्णांको के विषय में आपका क्या विचार है ? संख्या रेखा पर पूर्णांकों के निरूपण से हम सभी परिचित हैं. इनका निरूपण केवल पैमाना और परकार की सहायता से किया जा सकता है. अतः ये संख्याएँ रचनीय संख्याएँ हैं. पैमाना की सहायता से एक संख्या रेखा खींचिए. इस पर पैमाने की सहायता से $0$ और इससे इकाई दूरी पर $1$ अंकित कीजिये. अब परकार की सहायता से हम किसी भी धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक को इस संख्या रेखा पर निरूपित कर सकते हैं.<br />
<br />
<span id="goog_1004062781"></span><br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJ12OrKsxpb7mEycxKpXb2S8_gPGK03L863UQEzk3TqwD8Z3BnI-tWIkflyfB4ZOjPQE8u5HPwGlliBzEv6aqH6mucXUuoWHGjhlZMYBIq_hsz7Lf0dnex3US3E_EzD0GhoQFNiW-p2QLQ/s1600/number-line.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="58" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJ12OrKsxpb7mEycxKpXb2S8_gPGK03L863UQEzk3TqwD8Z3BnI-tWIkflyfB4ZOjPQE8u5HPwGlliBzEv6aqH6mucXUuoWHGjhlZMYBIq_hsz7Lf0dnex3US3E_EzD0GhoQFNiW-p2QLQ/s640/number-line.png" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 3: संख्या रेखा पर पूर्णांकों का निरूपण</td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr>
</tbody></table>
<span id="goog_1004062782"></span><br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
<span style="color: #38761d;"><i>पूर्णांक संख्याएँ रचनीय संख्याएँ हैं.</i></span><br />
<br /></div>
<br />
अब यदि दो पूर्णांक $a$ और $b$ दिए हुए हों, तो हम संख्या रेखा पर $a + b$ को आसानी से निरूपित कर सकते हैं (चित्र - 4 देखें). इसके लिए निम्नलिखित चरणशः प्रक्रिया अपनानी होती है:<br />
<ol>
<li>एक पैमाना की सहायता से एक संख्या रेखा खींचिए और परकार की सहायता से इस पर पूर्णांक $a$ को अंकित कीजिए.</li>
<li>अब परकार की सहायता से पूर्णांक $a$ को केंद्र मानकर त्रिज्या $|b|$ का एक वृत्त खींचिए. यह वृत्त संख्या रेखा को दो बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करेगा. यदि $b$ धनात्मक हों, तो बिंदु $A$ संख्या $a + b$ को निरूपित करेगा. यदि $b$ ऋणात्मक हों, तो बिंदु $B$ संख्या $a + b$ को निरूपित करेगा.</li>
</ol>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhgvHuw1AMmxpDMu5WflYJ5LwHDUTjr7o_NriaxOzu9iPr_5BTJFsys8YbbqW3iKNw1mte1hxIG7z4n3FDgHhidY0UT02nvdW35PgOiUtIf81CfZTKF_HKSQwj0JTRbA48pp6RByb6YZqy/s1600/add.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="289" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhgvHuw1AMmxpDMu5WflYJ5LwHDUTjr7o_NriaxOzu9iPr_5BTJFsys8YbbqW3iKNw1mte1hxIG7z4n3FDgHhidY0UT02nvdW35PgOiUtIf81CfZTKF_HKSQwj0JTRbA48pp6RByb6YZqy/s640/add.png" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 4: संख्या रेखा पर $a + b$ का निरूपण</td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr>
</tbody></table>
उदाहरण के लिए, नीचे के चित्र में $3 - 5$ और $- 3 + 5$ का निरूपण किया गया है.<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcbfMCfkRyGRhN1eKP7QG2yShfIJmbOueK1YsAv1g_FMo_6D_WJbLY6lEEGtmwkft2HJbwc1ZxzSglKQE6_MsqXKAeBwUt8DtkJpLqNOx8gmXe5-rI58XDUT-6afgTKKxsOIn4A2g-mlqp/s1600/addition.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="253" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcbfMCfkRyGRhN1eKP7QG2yShfIJmbOueK1YsAv1g_FMo_6D_WJbLY6lEEGtmwkft2HJbwc1ZxzSglKQE6_MsqXKAeBwUt8DtkJpLqNOx8gmXe5-rI58XDUT-6afgTKKxsOIn4A2g-mlqp/s640/addition.png" width="640" /></a></td></tr>
<tr align="center"><td class="tr-caption">चित्र - 5: संख्या रेखा पर $3 - 5 = -2$ और $- 3 + 5 = 2$ का निरूपण</td></tr>
</tbody></table>
<br />
अब मान लीजिये दो रचनीय संख्याएँ $a$ और $b$ दी हुई हैं, तो क्या $ab$ रचनीय संख्या होगी ? इस प्रश्न का उत्तर "हाँ " है. क्योंकि यदि $a$ एक धनात्मक रचनीय संख्या हों, तो इसके ऋणात्मक मान $-a$ को भी संख्या रेखा पर निरूपित किया जा सकता है, अतः किन्हीं दो धनात्मक रचनीय संख्याओं $a$ और $b$ के लिए ही $ab$ की रचनीयता दिखाना पर्याप्त है. इसे नीचे के चित्र में दिखाया गया है.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEizRRJvd05VR72cXysXZaV4j-2W7JlLPf_O3-_GncThF0dlzzTGhYhnt03QV-mKypvBL3l1-fxpDdgjj8AhNjRsu7C3BMY0O-MeCXwoDJ2DphKzHdeL3RoGqXyO2nxfahRglcZrskCbYTwe/s1600/construct-ab.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="334" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEizRRJvd05VR72cXysXZaV4j-2W7JlLPf_O3-_GncThF0dlzzTGhYhnt03QV-mKypvBL3l1-fxpDdgjj8AhNjRsu7C3BMY0O-MeCXwoDJ2DphKzHdeL3RoGqXyO2nxfahRglcZrskCbYTwe/s640/construct-ab.png" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 6: संख्या रेखा पर $ab$ का निरूपण</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
संख्या $ab$ की रचना के लिए चरणशः प्रक्रिया निम्नलिखित है:<br />
<ol>
<li>पैमाने की सहायता से दो किरण AX और AY खींचिए जिससे कि $\angle XAY$ का मान $90$ डिग्री से कम हों.</li>
<li>किरण AX पर दो बिंदु B और C लीजिए जिससे कि $AB = 1$ और $AC = b$ हों. इसी प्रकार, किरण AY पर एक बिंदु D लीजिए जिससे कि $AD = a$ हों. </li>
<li>अब बिंदु C से होते हुए BD के समांतर एक रेखाखंड CE खींचिए जो किरण AY को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करता है. इसे बिंदु C पर $\angle CBD$ के बराबर $\angle XCE$ बनाकर किया जा सकता है.</li>
<li>अब बिंदु A को केंद्र मानकर त्रिज्या AE का एक चाप खींचिए जो किरण AX को बिंदु F पर प्रतिच्छेद करता है. तब $AF = ab$ होगा.</li>
</ol>
</div>
<div style="text-align: justify;">
ध्यान दें कि $\triangle ABD$ और $\triangle ACE$ समरूप हैं. अतः समरूपता गुणधर्म केअनुसार,</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\frac{AE}{AD} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \frac{AE}{a} = \frac{b}{1}\Rightarrow AE =ab.\] </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
इसी प्रकार यदि दो रचनीय संख्याएँ $a$ और $b$ दी गई हों, तो हम $\frac{a}{b}$ को संख्या रेखा पर दर्शा सकते हैं (चित्र - 7) देखें. अतः परिमेय संख्या $\frac{a}{b}$ भी रचनीय संख्या होगी.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdrsbbmaL_KnAppbzH1AdiaZ-Pw17R62Xz-WX5dq3wDSqjN31kzTexHQKFFdeN-SF-zWSKQzrOXXJggIqXg9Popn579ilzad1iBChmasqZEgPdI7pTCo8Ng1hZsjjYfX11JmP7Wij2tf8N/s1600/construct-fractionpng.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="323" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdrsbbmaL_KnAppbzH1AdiaZ-Pw17R62Xz-WX5dq3wDSqjN31kzTexHQKFFdeN-SF-zWSKQzrOXXJggIqXg9Popn579ilzad1iBChmasqZEgPdI7pTCo8Ng1hZsjjYfX11JmP7Wij2tf8N/s640/construct-fractionpng.png" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 7: संख्या रेखा पर परिमेय संख्या $\frac{a}{b}$ का निरूपण</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr>
</tbody></table>
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
<span style="color: #38761d;"><i>परिमेय संख्याएँ रचनीय संख्याएँ हैं.</i></span><br />
<br /></div>
<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<span style="color: #38761d;"><i>अब तक हमने जाना.....</i></span><br />
<ul style="text-align: justify;">
<li><span style="color: red;"><span style="color: #38761d;"><i>परिमेय संख्याएँ रचनीय संख्याएँ हैं.</i></span></span></li>
<li><span style="color: red;"><i><span style="color: #38761d;">पूर्णांक संख्याएँ रचनीय संख्याएँ है.</span></i></span></li>
<li><span style="color: red;"><span style="color: #38761d;"><i>यदि $a$ और $b$ दो रचनीय संख्याएँ हों, तो $a + b$, $a -b$, $ab$ और $\frac{a}{b}, b \neq 0$ रचनीय संख्याएँ होती हैं.</i></span></span></li>
<li><span style="color: red;"><span style="color: #38761d;"><i>इस प्रकार रचनीय संख्याएँ योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन की संक्रिया के सापेक्ष संवृत्त होती है.</i></span></span></li>
</ul>
<span style="color: red;"><span style="color: #38761d;"><i> </i></span></span> <br />
<ul style="text-align: justify;">
</ul>
</div>
<b><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;">अपरिमेय रचनीय संख्याएँ </span></span></b><br />
<br />
आइए हम कुछ अपरिमेय संख्याओं पर विचार करते हैं. उदाहरण के लिए, $\sqrt{2}$ पर विचार कीजिए. क्या इसे संख्या रेखा पर निरूपित किया जा सकता है ? <br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnJaliXR59anlsHHFqvu_jkA0rRA9w3Ug39SYKUK2VGuV1PE3gACv48I2U6bST79gH1pqlkNOicKEm2-ax3eRTO6I-pHKQGEoXN11gcwJ4F4EQU7g1JrVRtxbnRbnzGGvR7C6ZL4PX-jQ9/s1600/square-root-2.png" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="301" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnJaliXR59anlsHHFqvu_jkA0rRA9w3Ug39SYKUK2VGuV1PE3gACv48I2U6bST79gH1pqlkNOicKEm2-ax3eRTO6I-pHKQGEoXN11gcwJ4F4EQU7g1JrVRtxbnRbnzGGvR7C6ZL4PX-jQ9/s400/square-root-2.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 8: $\sqrt{2}$ का निरूपण</td></tr>
</tbody></table>
एक किरण AX लीजिए और इसपर एक बिंदु B लीजिए जिससे कि $AB = 1$ हों. अब बिंदु B एक लम्ब रेखा BY की रचना कीजिए. इसपर एक बिंदु D लीजिए जिससे कि $BD = 1$ हों, रेखाखंड AD खींचिए. तब $\triangle ABD$ एक समकोण त्रिभुज है. अतः बौधायन प्रमेय के अनुसार,<br />
\[AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.\]<br />
अब बिंदु A को केंद्र मानकर त्रिज्या AD का एक चाप खींचिए जो किरण AX को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है. तब स्पष्टतः $AC = \sqrt{2}$ है. इस प्रकार $\sqrt{2}$ एक रचनीय संख्या है. अत्यधिक व्यापक रूप में, किसी भी धनात्मक रचनीय संख्या $a$ के लिए $\sqrt{a}$ भी रचनीय संख्या होती है. इसे नीचे के चित्र में दिखाया गया है. एक रेखा खींचकर इस पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार लीजिए कि $AB =1$ और $BC = a$ हों. अब AC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त ADC खींचिए. बिंदु B पर एक लम्ब रेखा BX खींचिए, जो इस अर्धवृत्त को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करता है. तब BD की लम्बाई $\sqrt{a}$ होगी.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5XdfgdObES1hjfGzCAJRoeBunjjY-Qi_Nby7F185aFH2FUAdA-2b9lojNGVRZEqkVDKdGk3P8FFHtqCnq0vl9RoJJc17sMTM_AMvIcADPZygZ6KFXpDYW72ScII8cAaIwWfGtIAJ8Mkar/s1600/square-root.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="288" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5XdfgdObES1hjfGzCAJRoeBunjjY-Qi_Nby7F185aFH2FUAdA-2b9lojNGVRZEqkVDKdGk3P8FFHtqCnq0vl9RoJJc17sMTM_AMvIcADPZygZ6KFXpDYW72ScII8cAaIwWfGtIAJ8Mkar/s400/square-root.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 9: $\sqrt{a}$ का निरूपण</td></tr>
</tbody></table>
यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि $\triangle ABD$ और $\triangle DBC$ समरूप है. अतः समरूपता गुणधर्म के अनुसार<br />
\[\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{BC} \Rightarrow BD = \sqrt{AB.BC} = \sqrt{a}.\] <br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<br />
<span style="color: #38761d;"><i>किसी धनात्मक रचनीय संख्या $a$ के लिए $\sqrt{a}$रचनीय संख्या होती है.</i></span><br />
<br /></div>
<br />
अभी तक हमने केवल रचनीय संख्याओं के उदाहरण दिए हैं. क्या आप किसी ऐसी संख्या का उदाहरण दे सकते हैं जो रचनीय नहीं है? एक ऐसी ही संख्या $\sqrt[3]{2}$ है. लेकिन यह प्रमाणित करना आसान नहीं है कि यह संख्या अरचनीय है. इस पर और अन्य अरचनीय संख्याओं पर चर्चा हम अगले अनुच्छेदों में करेंगे. परन्तु उससे पहले हम कार्तीय समतल में क्रमित युग्मों की रचनीयता पर चर्चा करेंगे.<br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;">कार्तीय समतल में बिंदुओं का निरूपण</span></span></b><br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrVawDR77LDs4RBKi14Pj3W-pjn5MIZzC9hsalC5_r2s4ru5OQvPraMDlrNUacQ0ew9Qb_r4Oh9av6FczBhQX3jZX-oGOum7ejIwXivFJ6z3T0hinqQU4N5iDRakKf4l7to9v2aIcGtAmr/s1600/cartesian.PNG" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="280" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrVawDR77LDs4RBKi14Pj3W-pjn5MIZzC9hsalC5_r2s4ru5OQvPraMDlrNUacQ0ew9Qb_r4Oh9av6FczBhQX3jZX-oGOum7ejIwXivFJ6z3T0hinqQU4N5iDRakKf4l7to9v2aIcGtAmr/s400/cartesian.PNG" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 10: कार्तीय समतल में बिंदुओं का निरूपण</td></tr>
</tbody></table>
<br />
आप ज्यामिति की कक्षाओं में कार्तीय समतल और इसपर बिंदुओं के निरूपण से
अवश्य परिचित हुए होंगे. मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ रचनीय संख्याएँ
हैं. तब कार्तीय समतल में बिंदुओं $(\alpha, 0)$, $(0, \beta)$ और
$(\alpha, \beta)$ का निरूपण आसानी से किया जा सकता है.इस समतल में $x$-अक्ष और रेखा $x = \alpha$ का प्रतिच्छेद बिंदु $(\alpha, 0)$ है. इसी प्रकार $y$ -अक्ष और रेखा $y = \beta$ का प्रतिच्छेद बिंदु $(0, \beta)$ है तथा रेखाओं $x = \alpha$ व $x = \beta$ का प्रतिच्छेद बिंदु $(\alpha, beta)$ है. विलोमतः यदि कार्तीय समतल में $(\alpha, \beta)$ रचनीय हों, तो इस बिंदु से $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर लम्ब खींचकर बिंदुओं $A = (\alpha, 0)$ और $B = (0, \beta)$ का निरूपण किया जा सकता है. तब $OA = \alpha$ और $OB = \beta$ होगा. इस प्रकार $(\alpha, \beta)$ की रचनीयता से $\alpha$ और $\beta$ की रचनीयता भी सत्यापित होती है.<b><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;"> </span></span></b><br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;"><br /></span></span></b>
<b><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;"><br /></span></span></b>
<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #38761d;">यदि $\alpha$ और $\beta$ रचनीय संख्याएँ हों, तो<br /> </span></div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><span style="color: red;"><span style="color: #38761d;"><i>कार्तीय समतल में बिंदुओं $(\alpha, 0)$, $(0, \beta)$ और $(\alpha, \beta)$ की रचना की जा सकती है.</i></span></span></li>
<li><span style="color: red;"><i><span style="color: #38761d;">कार्तीय समतल में रेखाओं $x = \alpha$ और $y = \beta$ की रचना की जा सकती है.</span></i></span></li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: red;"><i><span style="color: #38761d;">विलोमतः, यदि कार्तीय समतल में बिंदु $(\alpha, \beta)$ रचनीय हों, तो संख्याएँ $\alpha$ और $\beta$ रचनीय संख्याएँ होती हैं.</span></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
</div>
<br />
<b><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;">त्रिकोणमितीय संख्याओं की रचनीयता</span></span></b><br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipD0FZf3kfi0uhK9KlBcZx7z_e-57Bo7MLfhDhtOs0ygw7yi6zS088JlrQjxL4dVNndaWcwvKxAs4KNQsph62LggIM-uRUJlhR7C5NTw0w2_-9ytn7ruWkeLMbJHnFko3fs8QvPGxFttaM/s1600/cosine.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="315" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipD0FZf3kfi0uhK9KlBcZx7z_e-57Bo7MLfhDhtOs0ygw7yi6zS088JlrQjxL4dVNndaWcwvKxAs4KNQsph62LggIM-uRUJlhR7C5NTw0w2_-9ytn7ruWkeLMbJHnFko3fs8QvPGxFttaM/s400/cosine.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 11: $\cos\alpha$ और $\sin\alpha$ का निरूपण</td></tr>
</tbody></table>
प्रारंभिक ज्यामिति की कक्षा में आप पैमाना और परकार की सहायता से कोणों की रचना से अवश्य परिचित हुए होंगे. आपने सीखा होगा कि 15 डिग्री के गुणज के किसी भी कोण की रचना की सकती है. साथ ही आपने कोणों को समद्विभाजित करना और कोण के बराबर कोण की रचना करना भी सीखा होगा. इन प्रक्रियाओं के द्वारा कुछ वैसे कोणों की भी रचना की जा सकती है, जो 15 के गुणज नहीं हैं. इन कोणों को हम <span style="color: red;"><i>रचनीय कोण</i></span> (constructible angles) कहेंगे. ध्यान दें कि कोणों की रचना में केवल पैमाना और परकार के प्रयोग की अनुमति है. त्रिकोणमिति की कक्षा से आप त्रिकोणमितीय अनुपातों (trigonometrical ratios) से भी परिचित होंगे. यहाँ पर हम इस विषय पर विस्तृत चर्चा नहीं करेंगे. हम यह मानकर चलेंगे कि आपको ये सारी बातें ज्ञात हैं. <br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnsFjDoQ5UDtz2QgSNHJv-EtZyRqbZ2rTu50-iViOOG0AexiTe-WUd6aIX4MzotAasfF0ON8zUOO-83nsTCQXZ2xmvxsZHin5HOvdHrl4IsjHrzT3wnVnETOhNbgrkMI91htr0uFFImdm4/s1600/tan.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnsFjDoQ5UDtz2QgSNHJv-EtZyRqbZ2rTu50-iViOOG0AexiTe-WUd6aIX4MzotAasfF0ON8zUOO-83nsTCQXZ2xmvxsZHin5HOvdHrl4IsjHrzT3wnVnETOhNbgrkMI91htr0uFFImdm4/s320/tan.png" width="314" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 12: $\tan\alpha$ का निरूपण</td></tr>
</tbody></table>
<br />
मान लीजिए $\alpha$ एक रचनीय कोण है. तब $\cos \alpha$, $\sin \alpha$ और $\tan \alpha$ और इनका कोई भी संयोजन रचनीय होता है. विलोमतः, यदि $\cos \alpha$ रचनीय हों, तो $\sin \alpha$, $\tan \alpha$ और साथ ही कोण $\alpha$ रचनीय होता है. इसे चित्र - 11 और चित्र - 12 की सहायता से समझा जा सकता है.<br />
<br />
सर्वप्रथम मान लीजिए कि एक रचनीय कोण $\alpha$ दिया गया है. अर्थात हम एक ऐसे कोण की रचना कर सकते हैं, जिसका मान $\alpha$ है. तब हम ऐसे रेखाखंडों की रचना करना चाहते हैं, जिनकी लम्बईयाँ $\cos \alpha$, $\sin\alpha$ और $\tan \alpha$ हैं. इसके लिए कार्तीय समतल में मूल बिंदु O को केंद्र मानकर इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए. अब मूल बिंदु O पर $\angle AOB = \alpha$ की रचना कीजिए, जहाँ बिंदु $A$ $x$-अक्ष पर स्थित है और बिंदु B इस कोण की भुजा OB और वृत्त का प्रतिच्छेद बिंदु है (चित्र - 11 देखिए). तब बिंदु B क्रमित युग्म $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ को निरूपित करता है. अब बिंदु B से $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर क्रमशः लम्ब BA और BC खींचिए जो इन अक्षों को क्रमशः A और C पर प्रतिच्छेद करते हैं. तब $OA = \cos \alpha$ और $OC = \sin \alpha$ है. विलोमतः, यदि $\cos\alpha$ रचनीय हों, तो $x$-अक्ष पर इसी लम्बाई का एक रेखाखंड OA खींच सकते हैं. क्योंकि $\sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2\alpha}$, अतः $\sin\alpha$ भी रचनीय है और $y$-अक्ष पर हम इस लम्बाई का एक रेखाखंड OC खींच सकते हैं. इस प्रकार हम दो रेखाएँ $x = cos\alpha$ और $y = \sin \alpha$ भी खींच सकते हैं, जो क्रमशः बिंदुओं A और C से गुजरते हैं और बिंदु B पर प्रतिच्छेद करते हैं. अब रेखाखंड OB की रचना कीजिए. तब $\angle AOB = \alpha$ होगा. इसी प्रकार हम दिखा सकते हैं कि एक कोण $\alpha$ रचनीय होता है यदि और केवल यदि $\tan\alpha$ एक रचनीय संख्या हों (चित्र - 12 देखिए). <br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><span style="color: red;"><i><span style="color: #38761d;">एक कोण $\alpha$ रचनीय होता है यदि और केवल यदि $\cos \alpha$ रचनीय होता है.</span></i></span></li>
<li><span style="color: red;"><i><span style="color: #38761d;">एक कोण $\alpha$ रचनीय होता है यदि और केवल यदि $\sin \alpha$ रचनीय होता है..</span></i></span></li>
<li><span style="color: red;"><i><span style="color: #38761d;">एक कोण $\alpha$ रचनीय होता है यदि और केवल यदि कार्तीय समतल में बिंदु $(\cos \alpha, \sin\alpha)$ रचनीय होता है.</span></i></span><span style="color: red;"><i><span style="color: #38761d;"> </span></i></span></li>
</ul>
<br />
<ul style="text-align: justify;">
</ul>
<div style="text-align: justify;">
</div>
</div>
<br />
<b><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;">अरचनीय संख्याएँ और ज्यामितीय आकृतियों की रचनाओं की प्राचीन समस्या</span></span></b><br />
<br />
केवल पैमाना और परकार की सहायता से कुछ ज्यामितीय आकृतियों की रचना की असंभवता का अरचनीय संख्याओं से व्यापक संबंध है. ये समस्याएँ ज्यामिति की प्राचीन और रोचक समस्याएँ हैं और इन समस्याओं का इतिहास भी अत्यंत रोचक है. इस विषय पर विशद चर्चा यहाँ संभव नहीं है, क्योंकि इसे समझने के लिए, आधुनिक बीजगणित के अंतर्गत रैखिक बीजगणित (linear algebra) और क्षेत्र-सिद्धांत (field theory) का ज्ञान आवश्यक है. जिज्ञासु पाठक इस लेख के अंत में दिए गए संदर्भ पुस्तकों का अध्ययन कर सकते हैं. भविष्य में इस वेबपृष्ठ पर इस विषय पर विस्तृत लेखन किया जाएगा. परन्तु यहाँ हम इस विषय पर संक्षिप्त चर्चा करेंगे और उपरोक्त समस्याओं पर चर्चा करेंगे. परन्तु इससे पहले कुछ आधारभूत संकल्पनाओं से परिचित होना आवश्यक है.<br />
<br />
एक बहुपद (polynomial) $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_2x^2 + a_1x+ a_0$ को परिमेय गुणांक (rational coefficients) वाले घात $n$ का बहुपद कहा जाता है, यदि अचर $a_0, a_1, \ldots, a_n$ परिमेय संख्याएँ हों और $a_n$ शून्येतर हों. यदि $n =0$, तो संगत बहुपद $a_0$ को अचर बहुपद कहा जाता है. जिस बहुपद का घात धनात्मक संख्या हों, उसे हम अतुच्छ बहुपद कहेंगे. परिमेय गुणांकों वाले किसी अतुच्छ बहुपद $p(x)$ को परिमेय संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{Q}$ पर अखंडनीय बहुपद (irreducible polynomial) कहा जाता है यदि इसे परिमेय गुणांकों वाले दो अतुच्छ बहुपदों के गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सके. उदाहरण के लिए, $\frac{3}{2}x^3 - 2x + 5$ परिमेय गुणांकों वाला घात $3$ का बहुपद है, परन्तु $\sqrt{3}x^2 + 2x - 1$ परिमेय गुणांकों वाला बहुपद नहीं है, क्योंकि इस बहुपद का एक गुणांक $\sqrt{3}$ परिमेय नहीं है. बहुपद $x^2 + 1$ $\mathbb{Q}$ पर अखंडनीय है, परन्तु बहुपद $x^2 + 2x + 1$ $\mathbb{Q}$ पर अखंडनीय नहीं है, क्योंकि $x^2 + 2x + 1 = (x+1)(x+1)$. किसी दिए गए बहुपद के अखंडनीयता का निर्णय करना अत्यंत कठिन हो सकता है. इसके लिए कई सिद्धांत है, जिसपर विस्तृत चर्चा किसी अन्य लेख में की जाएगी. एक वास्तविक संख्या $\alpha$ को किसी बहुपद $p(x)$ का शून्यक (zero or root) कहा जाता है, यदि यह समीकरण $p(x) = 0$ को संतुष्ट करता हों. किसी वास्तविक संख्या $\alpha$ को वास्तविक बीजीय संख्या (real algebraic number) कहा जाता है यदि यह संख्या परिमेय गुणांकों वाले किसी अतुच्छ बहुपद का शून्यक हों. उदाहरण के लिए, $\sqrt[3]{2}$ एक बीजीय संख्या है, क्योंकि यह बहुपद $x^3 - 2$ का शून्यक है. अब हम इस स्थिति में आ गए हैं कि किसी संख्या के अरचनीय होने के प्रतिबंधों पर चर्चा कर सके.<br />
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<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
<span style="color: #38761d;"><i>कोई रचनीय संख्या $\alpha $ आवश्यक रूप से बीजीय संख्या होता है. इस प्रकार यदि कोई वास्तविक संख्या $\alpha$ बीजीय नहीं हों, तो वह संख्या रचनीय संख्या नहीं हो सकती.</i></span></blockquote>
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<span style="color: red;"><i><span style="color: #38761d;"></span></i></span></div>
</div>
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उदाहरण के लिए, $\pi$ रचनीय संख्या नहीं है, क्योंकि यह बीजीय संख्या नहीं है. इस तथ्य की उपपत्ति अत्यंत कठिन है और इसकी उपपत्ति सबसे पहले लिंडेमान (Lindemann) ने 1882 में दी थी. इस प्रकार केवल पैमाना और परकार की सहायता से $\pi$ को संख्या रेखा पर दर्शाना असंभव है. एक दूसरा उदाहरण है - संख्या $e$. यह भी बीजीय संख्या नहीं है और इसलिए यह भी रचनीय संख्या नहीं है. इस तथ्य की उपपत्ति सर्वप्रथम हरमाइट (Hermite) ने 1873 में दी थी. इस विषय पर अत्यधिक जानकारी के लिए संदर्भ [2], [3] और [4] देखें.<br />
<br />
एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है कि रचनीय संख्याओं की संख्या अधिक है या अरचनीय संख्याओं की ? यह जानकर आपको आश्चर्य होगा कि अरचनीय संख्याएँ रचनीय संख्याओं की अपेक्षा अधिक हैं और "अधिक" से तात्पर्य है कि अरचनीय संख्याएँ अगणनीय (uncountable) हैं जबकि रचनीय संख्याएँ गणनीय (countable) हैं. गणनीयता का अर्थ है कि रचनीय संख्याओं और प्राकृत संख्याओं में एकैक संगति (one-one correspondence) है. इसकी विस्तृत व्याख्या हम गणनीयता से संबंधित किसी लेख में करेंगे.<br />
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अब हम किसी संख्या के अरचनीय होने का एक और प्रतिबंध देते हैं.<br />
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<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
</div>
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<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #38761d;"><i>यदि कोई वास्तविक संख्या $\alpha$ परिमेय गुणांकों वाले किसी ऐसे अतुच्छ और $\mathbb{Q}$ पर अखंडनीय बहुपद का शून्यक हों, जिसका घात $n$ हों और $n \neq 2^k$, जहाँ $k \geq 1$, तो वह संख्या रचनीय संख्या नहीं हो सकती.</i></span></div>
</blockquote>
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<div style="text-align: justify;">
</div>
</div>
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उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या $\sqrt[3]{2}$ रचनीय संख्या नहीं है, क्योंकि यह बहुपद $x^3 - 2$ का शून्यक है, परन्तु यह बहुपद है अखंडनीय है और इसका घात 2 का घात नहीं है. इस प्रकार केवल पैमाना और परकार की सहायता से $\sqrt[3]{2}$ को संख्या रेखा पर निरूपित नहीं किया जा सकता है.<br />
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<span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;">ज्यामितीय आकृतियों की अरचनीयता</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
इस अनुच्छेद में हम कुछ ज्यामितीय आकृतियों की रचना से संबंधित कुछ प्राचीन समस्याओं पर चर्चा करेंगे. ध्यान रहें कि ज्यामितीय रचना से हमारा तात्पर्य है - केवल पैमाना और परकार की सहायता से रचना.</div>
<div style="text-align: justify;">
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<span style="font-size: large;"><u><span style="color: #134f5c;">वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल वाले वर्ग की रचना की समस्या</span></u></span><br />
<br />
किसी दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल वाले वर्ग की रचना करना संभव नहीं है. मान लीजिए कि दिए गए वृत्त की त्रिज्या 1 है. अतः इसका क्षेत्रफल $\pi$ होगा. हम एक ऐसे वर्ग की रचना करना चाहते हैं जिसका क्षेत्रफल $\pi$ हों. यदि यह रचना संभव हों, तो मान लीजिए कि इस वर्ग की भुजा $a$ है. तब इसका क्षेत्रफल $a^2$ होगा, जो $\pi$ के बराबर होना चाहिए. अर्थात $a^2 = \pi$. क्योंकि $a$ रचनीय संख्या है, अतः $a^2$ भी रचनीय संख्या होगी और इसीलिए $\pi$ भी रचनीय संख्या होगी. क्योंकि कोई भी रचनीय संख्या आवश्यक रूप से बीजीय संख्या होती है, अतः $\pi$ एक बीजीय संख्या होनी चाहिए. परन्तु, हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि $\pi$ बीजीय संख्या नहीं है. अतः हमारा यह मानना गलत है कि वर्ग की भुजा $a$ एक रचनीय संख्या है. अतः भुजा $a$ की रचना पैमाना और परकार की सहायता से नहीं की जा सकती है. इस प्रकार $\pi$ क्षेत्रफल वाले वर्ग की रचना संभव नहीं है.<br />
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<span style="font-size: large;"><u><span style="color: #134f5c;">किसी घन के आयतन के दुगुने आयतन वाले घन की रचना की समस्या</span></u></span><br />
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किसी दिए गए घन के आयतन के दुगुने आयतन वाले घन की रचना करना संभव नहीं है. मान लीजिये कि दिए गए घन की भुजा $1$ है, तब इसका आयतन भी $1$ होगा. हम एक ऐसे घन की रचना करना चाहते हैं जिसका आयतन $2$ हों. यदि यह संभव हों, तो हम घन की एक भुजा $a$ की रचना कर सकते हैं जिससे कि इसका आयतन $a^3 = 2$ होगा. तब $a = \sqrt[3]{2}$ एक रचनीय संख्या होगी, क्योंकि हमने माना था कि भुजा $a$ रचनीय है. परन्तु हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि $\sqrt[3]{2}$ रचनीय संख्या नहीं है. अतः इस भुजा की रचना संभव नहीं है और इस प्रकार उपरोक्त घन की भी रचना संभव नहीं है.<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><u><span style="color: #134f5c;">किसी कोण को समत्रिभाजित करने की समस्या</span></u></span><br />
<br />
आपने ज्यामिति की कक्षा में कोणों को समद्विभाजित करना अवश्य सीखा होगा. प्रांत यह सदैव संभव नहीं है कि किसी कोण को समत्रिभाजित किया जा सके. अर्थात कुछ ऐसे कोण हैं जिन्हें तीन बराबर भागों में विभाजित करना संभव नहीं है. उदाहरण के लिए, $60^{\circ}$ का कोण लीजिए. इस कोण को पैमाना और परकार की सहायता से समत्रिभाजित करना असंभव है. यदि ऐसा संभव होता, तो हम $20^{\circ}$ के कोण की रचना करने में सक्षम होंगे. परन्तु तब $\cos 20^{\circ}$ की रचना संभव होगी. इस प्रकार $\cos 20^{\circ}$ एक रचनीय संख्या होगी. मान लीजिए $a = 2 \cos 20^{\circ}$. तब $a$ एक रचनीय संख्या होगी. त्रिकोणमितीय सूत्र से हम जानते हैं कि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$<br />
\[\cos 60^{\circ} = 4\cos^3 20^{\circ}- 3\cos 20^{\circ} \Rightarrow \frac{1}{2} = 4\cos^3 20^{\circ}- 3\cos 20^{\circ}.\]<br />
इसलिए<br />
\[1 = 8\cos^3 20^{\circ}- 3(2\cos 20^{\circ}) \Rightarrow (2\cos20^{\circ})^3- 3(2\cos 20^{\circ}) - 1 = 0. \]<br />
अर्थात $a^3 - 3a - 1 = 0$. इस प्रकार संख्या $a$ परिमेय गुणांकों वाले एक अखंडनीय बहुपद $x^3 - 3x - 1 $ का शून्यक है. क्योंकि इस बहुत का घात $2$ के घात के बराबर नहीं है. अतः अरचनीयता की दुसरे प्रतिबंध के अनुसार यह संख्या रचनीय संख्या नहीं है. अतः हम $\cos 20^{\circ} = \frac{a}{2}$ भी रचनीय संख्या नहीं है. परन्तु तब कोण $20^{\circ}$ भी रचनीय कोण नहीं होगा. अतः $20^{\circ}$ के कोण को समत्रिभाजित करना असंभव है.<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><u><span style="color: #134f5c;"><u>सम</u>बहुभुज की रचना की समस्या</span></u></span><br />
<span style="font-size: large;"><u><span style="color: #134f5c;"><br /></span></u></span>
पैमाना और परकार की सहायता से समबाहु त्रिभुज, वर्ग, समपंचभुज और समषट्भुज की रचना करना आसान है. परन्तु इससे अधिक भुजाओं वाले समबहुभुज की रचना संभव नहीं भी हो सकती है. उदाहरण के लिए, समसप्तभुज की रचना असंभव है. यदि यह संभव होता तो हम $(\frac{360}{7})^{\circ}$ के कोण की रचना कर पाएँगे. अतः $a = 2\cos(\frac{360}{7})^{\circ}$ एक रचनीय संख्या होनी चाहिए. त्रिकोणमितीय सूत्रों की सहयता से यह दिखाया जा सकता है कि यह संख्या परिमेय गुणांकों वाले बहुपद $x^3 + x^2 -2x - 1$ का शून्यक है. यह बहुपद $\mathbb{Q}$ पर अखंडनीय है, परन्तु इसका घात $2$ के किसी घात के बराबर नहीं है. इसलिए, अरचनीय संख्याओं के द्वितीय प्रतिबंध के अनुसार $a$ रचनीय संख्या नहीं है. अतः हमारा यह मानना गलत था कि $(\frac{360}{7})^{\circ}$ के कोण की रचना की जा सकती है. अतः समसप्त्भुज की रचना संभव नहीं है. व्यापक रूप में, निम्नलिखित कथन सत्य है:<br />
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<div style="background: rgb(218, 238, 243) none repeat scroll 0% 0%; line-height: 150%; margin: 0in; text-align: center;">
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<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #38761d;"><i>$n$-भुजाओं वाले समबहुभुज की (तुल्यतः कोण </i></span> $(\frac{360}{n})^{\circ}$<span style="color: #38761d;"><i> की) रचना संभव होता है यदि और केवल यदि $\phi(n)$ दो का कोई घात होता है. यहाँ </i></span><span style="color: #38761d;"><i><span style="color: #38761d;"><i>$\phi(n)$ ऑयलर फाई फलन है, जो $n$ या इससे कम ऐसे संख्याओं $a$ की संख्या बताता है जिससे कि $\gcd(a, n) = 1$.</i></span></i></span></div>
</blockquote>
<br /></div>
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इस कथन की उपपत्ति यहाँ देना संभव नहीं है, क्योंकि इसके लिए क्षेत्र - सिद्धांत की व्यापक जानकारी आवश्यक है.<br />
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<b><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;">संदर्भ पुस्तकें व शोध पत्र</span></span></b><br />
<br />
[1] P. B. Bhattacharya, S. K. Jain and S. R. Nagpaul, <i>Basic Abstract Algebra</i>, 2nd Ed., Cambridge University Press, 1995.<br />
<br />
[2] I. N. Herstein, <i>Topics in Algebra</i>, 2nd Ed., John Wiley $\&$ Sons, 1975.<br />
<br />
[3] G. H. Hardy and E. M. Wright, <i>An Introduction to the Theory of Numbers</i> first published 1938, fifth Edition 1979 with additions 2000, Clarendon Press, Oxford U.K.<br />
<br />
[4] Underwood Dudley,<i> A Budget of Trisections</i>, Springer- Verlag: New York, 1987. <br />
<br />
[5] I. Niven, <span class="title">A simple proof that <span class="MathTeX"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-1-Frame" tabindex="0"><nobr><span class="math" id="MathJax-Span-1" role="math" style="display: inline-block; width: 0.641em;"><span style="display: inline-block; font-size: 107%; height: 0px; position: relative; width: 0.584em;"><span style="clip: rect(1.613em, 1000.58em, 2.406em, -1000em); left: 0em; position: absolute; top: -2.22em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-2"><span class="mi" id="MathJax-Span-3" style="font-family: "mathjax_math"; font-style: italic;">π<span style="display: inline-block; height: 1px; overflow: hidden; width: 0.003em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; height: 2.22em; width: 0px;"></span></span></span><span style="border-left: 0px solid; display: inline-block; height: 0.598em; overflow: hidden; vertical-align: -0.074em; width: 0px;"></span></span></nobr></span> is irrational.</span>
<a href="http://www.ams.org/mathscinet/search/journaldoc.html?cn=Bull_Amer_Math_Soc"> <i>Bull. Amer. Math. Soc.</i></a> <b> 53, </b> (1947). 509.<br />
<br />
<br />
<br />
प्रथम दो पुस्तकें [1] और [2] अमूर्त बीजगणित की पुस्तक हैं और इसमें क्षेत्र - सिद्धांत पर विस्तृत अध्ययन - सामग्री उपलब्ध है. पुस्तक [1] में पृष्ठ संख्या 358 - 364 पर रचनीयता पर विस्तृत सामग्री उपलब्ध है. पाठक पुस्तक [2] में पृष्ठ संख्या 228 - 231 पर भी इस विषय पर सामग्री उपलब्ध है. इसी पुस्तक में पृष्ठ संख्या 216 - 219 पर वास्तविक संख्या $e$ के अबीजीयता की भी उपपत्ति प्रस्तुत की गई है. पुस्तक [3] संख्या - सिद्धांत की पुस्तक है. इस पुस्तक में पृष्ठ संख्या 170 - 176 पर $e$ और $\pi$ की अबीजीयता की उपपत्तियाँ दी गई हैं. शोध पत्र [5] में $\pi$ के अपरिमेयता की एक सरल उपपत्ति दी गई है. पुस्तक [4] कोणों के समत्रिभाजन समस्या पर एक रोचक पुस्तक है. इसमें उन सभी व्यक्तियों का परिचय दिया गया है, जिन्होंने कोणों के समत्रिभाजन का असफल प्रयास किया. साथ ही उनकी ज्यामितीय रचनाओं को भी प्रस्तुत किया गया है. इस पुस्तक में पैमाने और परकार के अतिरिक्त अन्य उपकरणों की सहायता से किसी कोण के समत्रिभाजन पर भी चर्चा की गई है.<br />
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</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-4836236456564744462016-08-09T19:33:00.001+05:302016-08-28T17:54:27.085+05:30क्या बिंदु अपरिभाषित है ?<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on"><div style="text-align: justify;">ज्यामिति का आरंभ जिन तीन अवधारणाओं से होता है - वे हैं बिंदु, रेखा और समतल की अवधारणाएँ. बिंदु क्या है ? बिंदु की क्या परिभाषा है ? इस प्रश्न का उत्तर प्रायः यह कहकर दिया जाता है कि बिंदु अपरिभाषित है. अर्थात, इसे परिभाषित नहीं किया जा सकता है. इसकी केवल कल्पना की जा सकती है या इसका केवल वर्णन किया जा सकता है. इसे क्यों नहीं परिभाषित किया जा सकता है ? - इस प्रश्न का उत्तर पाने से पहले हमें बिंदु का व्यावहारिक निरूपण समझना होगा.<br />
<a name='more'></a>एक पेंसिल की नोंक से कागज पर जो निशान बनता है, उसे हम बिंदु का एक निरूपण समझ सकते हैं. पेंसिल की नोंक जितनी पतली होगी, बिंदु का निरूपण उतना ही सटीक होगा. नीचे के चित्र में अलग - अलग मोटाई की नोंक वाले पेंसिल से बिंदु का निरूपण दिखाया गया है.<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUx8OZABWIaXcF1J5paAzmzkt8S_Es86vFkY3Q_bU3jTOfls1T08CKndSur9xuBF8lICawQTDWCJCVebgDAA1Lk-6cM2z2BkcHfa09Ik0_XJ0s7L5dhFA84NXooK54mRKZhV0UJFlYA88P/s1600/points.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="80" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUx8OZABWIaXcF1J5paAzmzkt8S_Es86vFkY3Q_bU3jTOfls1T08CKndSur9xuBF8lICawQTDWCJCVebgDAA1Lk-6cM2z2BkcHfa09Ik0_XJ0s7L5dhFA84NXooK54mRKZhV0UJFlYA88P/s640/points.png" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र - 1: अलग - अलग पेंसिल से बिंदु का निरूपण<br />
<div style="text-align: center;"><br />
</div></td></tr>
</tbody></table></div><div style="text-align: justify;"><div style="text-align: justify;">यदि हम और अधिक पतले नोंक वाले पेंसिल का प्रयोग करें, तो अंकित निशान का आकार और अधिक छोटा होगा. हम कुछ सीमा तक पेंसिल के नोंक को पतला बना सकते हैं और अत्यंत छोटे आकार का निशान कागज पर अंकित कर सकते हैं. परन्तु इससे छोटे निशान की कल्पना भी हम अपने मन में कर सकते हैं, भले ही हम उसे कागज पर अंकित न कर पाएँ. हम कितने भी छोटे आकार की कल्पना क्यों न करें - इस कल्पना का अंत नहीं होगा - हम निरंतर छोटे से छोटे निशानों की कल्पना करते चले जाएँगे. तब एक ही उपाय शेष रह जाता है - बिंदु को आकारहीन मान लेना. बिंदु का कोई आकार नहीं है. इस प्रकार यह दृश्य भी नहीं होना चाहिए. इसकी कोई लम्बाई या चौड़ाई भी नहीं हो सकती. तो क्या बिंदु को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है ? - "जिसका कोई आकार नहीं हो और जिसकी लम्बाई या चौड़ाई नहीं हों, वही बिंदु है." परन्तु इस परिभाषा में "जिसका" शब्द का क्या तात्पर्य है ? लंबाई और चौड़ाई का क्या अर्थ है ? बिंदु की इस परिभाषा में समस्या यहीं पर है. वस्तुतः लम्बाई और चौड़ाई को बिंदु और रेखा की अवधारणा के बिना परिभाषित नहीं किया जा सकता है. ध्यान दें कि चित्र - 1 में दिखाए गए निशान बिंदु नहीं हैं. वे निशान केवल बिंदु को समझाने के लिए और व्यवहार में ज्यामिति समझने के लिए प्रयुक्त किए जाते हैं. गणित में हमें कहीं - न - कहीं से शुरूआत करनी होती है, और जहाँ से हम शुरुआत करते हैं, उसे परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उसकी चर्चा पहली बार हो रही होती है. अतः हम ज्यामिति का आरंभ यह मान कर करते हैं कि हमें यह ज्ञात है कि बिंदु क्या है. इसी प्रकार, ज्यामिति में रेखा और समतल को भी प्राथमिक अवधारणा के रूप में ज्ञात माना जाता है. परन्तु बिंदु, रेखा और समतल के बीच अंतर्संबंधों को बताया जा सकता है. दो अलग - अलग बिंदु एक रेखा को पूर्णतः निर्धारित करते हैं. एक रेखा में अनंत बिंदु होते हैं. चित्र -2 देखें.</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGObftPQa_bP-RND5GE1pi_dJZ_AYAHuknGR4t38idahX-Df80sg4x-tl1rbcr6bFDYW80NqXmV85GyP6R2tSPxdD_I0AO04fwQ8Yy1Gyp68Lxj77nF9vR0anhXpp7n1F2-IwvBucdlYxn/s1600/%25E0%25A4%25B0%25E0%25A5%2587%25E0%25A4%2596%25E0%25A4%25BE-1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGObftPQa_bP-RND5GE1pi_dJZ_AYAHuknGR4t38idahX-Df80sg4x-tl1rbcr6bFDYW80NqXmV85GyP6R2tSPxdD_I0AO04fwQ8Yy1Gyp68Lxj77nF9vR0anhXpp7n1F2-IwvBucdlYxn/s1600/%25E0%25A4%25B0%25E0%25A5%2587%25E0%25A4%2596%25E0%25A4%25BE-1.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र -2</td></tr>
</tbody></table><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">इसी प्रकार तीन अलग - अलग बिंदु एक समतल को पूर्णतः निर्धारित करते हैं. एक समतल में अनंत रेखाएँ और अनंत बिंदुएँ होती हैं. नीचे का चित्र देखें.</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhxFqVWVGL2i2O7YSQ_qC29RmAdtqcZsZI8T2ILSymgTRuNFueFS4QAZTXxEiDPYTwUlpgogiqQfaqUbdnfvvwOsVHjubCAWVv78rizdfxXhWXb05vRdX6ZvHruSEFdIgy2LNtoh_LVBGH/s1600/plane.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhxFqVWVGL2i2O7YSQ_qC29RmAdtqcZsZI8T2ILSymgTRuNFueFS4QAZTXxEiDPYTwUlpgogiqQfaqUbdnfvvwOsVHjubCAWVv78rizdfxXhWXb05vRdX6ZvHruSEFdIgy2LNtoh_LVBGH/s1600/plane.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">चित्र -3<br />
<br />
<br />
</td></tr>
</tbody></table><br />
</div></div>Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-56860397612609310572016-08-04T19:56:00.000+05:302016-12-07T21:07:24.108+05:30अभिगृहीत...प्रमेय...उपप्रमेय...प्रमेयिका...???<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
गणित के उच्च-स्तरीय पाठ्य पुस्तकों को खोलते ही हमारा सामना कुछ विशिष्ट शब्दावलियों : <span style="color: blue;"><i>अभिगृहीत (Axiom), प्रमेय (Theorem), उपप्रमेय (Corollary), प्रमेयिका</i> <i>(Lemma</i>), <i>प्रतिज्ञप्ति (Proposition),</i> <i>अनुमान (Conjecture),</i> <i>उपपत्ति (proof),</i> <i>परिभाषा (Definition), </i> </span>इत्यादि से हमारा सामना होता है. यहाँ तक कि सातवीं - आठवीं कक्षा के छात्रों को भी ज्यामिति की पुस्तक में इन शब्दावलियों का सामना करना पड़ता है. यहाँ हम इन शब्दावलियों को परिभाषित करेंगे और इनके प्रयोगों के विषय में बताएँगे.<br />
<a name='more'></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
गणित में सामान्यतः किसी विषय या अध्याय का प्रारंभ कुछ परिभाषाओं से होता है. <span style="color: blue;"><span style="color: black;"><i>परिभाषा </i></span> </span>से क्या तात्पर्य है? अर्थात किसी वस्तु को परिभाषित करने का क्या अर्थ है? क्या सभी वस्तुओं को परिभाषित किया जा सकता है ? आइए, पहले इन प्रश्नों का उत्तर देते हैं. क्योंकि हम गणित में इन शब्दावलियों पर चर्चा कर रहे हैं, अतः "वस्तु" से हमारा तात्पर्य होगा: "गणितीय वस्तु". परन्तु ये परिभाषाएँ विज्ञान में भी स्वीकार्य हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">परिभाषा :</span></b> <i>किसी गणितीय वस्तु की परिभाषा से तात्पर्य है: उस वस्तु को कुछ विशिष्ट गुणों और लक्षणों द्वारा एक निश्चित और स्पष्ट अर्थ प्रदान करना. हमें परिभाषा में उन्हीं गुणों और लक्षणों को व्यक्त करना होता है, जो सत्य हों. </i></div>
<div style="text-align: justify;">
उदाहरण के लिए, ज्यामिति में त्रिभुज (triangle) की परिभाषा हम इस प्रकार देते हैं : तीन सरल रेखाखंडों (straight line segments) से बनी संवृत्त (closed) आकृति को त्रिभुज कहा जाता है. परन्तु त्रिभुज की परिभाषा हम इस प्रकार नहीं दे सकते हैं: तीन रेखाखंडों से बनी आकृति को त्रिभुज कहा जाता है. ध्यान दीजिये कि परिभाषा में रेखाखंड के साथ "सरल" विशेषण प्रयुक्त करना आवश्यक है. उदाहरण के लिए, चित्र - 2 की आकृति त्रिभुज नहीं है, क्योंकि इसमें एक रेखाखंड वक्र रेखाखंड है. इसी प्रकार परिभाषा में संवृत्त विशेषण का प्रयोग आवश्यक है. चित्र - 3 की आकृति तीन सरल रेखाखंडों से तो बनी है, परन्तु संवृत्त नहीं होने के कारण इसे त्रिभुज नहीं माना जा सकता है. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwCzV-cNKaVbAy2mlLEQn-MxqXc7ABZ7GDv41RuLD_I0lfQiKsTCILaIR5K5aYPr6o24_mSOaLrASjfzLYrGY_geh4uLcUJC3BGlawEgsH3VBOC3oH4YIWTv14LqeBJtro_nZ6f1hlkGPr/s1600/%25E0%25A4%25A4%25E0%25A5%258D%25E0%25A4%25B0%25E0%25A4%25BF%25E0%25A4%25AD%25E0%25A5%2581%25E0%25A4%259C.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwCzV-cNKaVbAy2mlLEQn-MxqXc7ABZ7GDv41RuLD_I0lfQiKsTCILaIR5K5aYPr6o24_mSOaLrASjfzLYrGY_geh4uLcUJC3BGlawEgsH3VBOC3oH4YIWTv14LqeBJtro_nZ6f1hlkGPr/s1600/%25E0%25A4%25A4%25E0%25A5%258D%25E0%25A4%25B0%25E0%25A4%25BF%25E0%25A4%25AD%25E0%25A5%2581%25E0%25A4%259C.jpg" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार परिभाषा ऐसी होनी चाहिए, जिसे पढ़कर प्रत्येक व्यक्ति को उस वस्तु का एक निश्चित अर्थ समझ में आ जाए. यदि अलग- अलग व्यक्तियों को अलग - अलग अर्थ प्रतीत हों, तो संभवतः परिभाषा सही नहीं हो सकती है.<br />
सभी वस्तुओं को परिभाषित करना संभव नहीं है. उदाहरण के लिए, ज्यामिति में बिंदु (point), रेखा (line) और समतल (plane) को परिभाषित करना संभव नहीं है. इनकी केवल हम कल्पना कर सकते हैं और इसकी कुछ- कुछ व्याख्या कर सकते हैं. यह मानव की प्रकृति है कि अपरिभाषित होते हुए भी हम अन्य व्यक्तियों को इन वस्तुओं से परिचित करा सकते हैं और वे वही समझते हैं, जो हम समझाना चाहते हैं.<br />
<br />
हम अभिगृहीत की परिभाषा से प्रारंभ करते हैं. नीचे दी गई परिभाषा पारंपरिक (classical) है. आधुनिक गणित में अभिगृहीत को अत्यधिक व्यापक रूप से परिभाषित किया जाता है, जिसे हम इस परिभाषा के बाद प्रस्तुत करेंगे.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b>अभिगृहीत (पारंपरिक परिभाषा):</b></span> <i>वैसा गणितीय कथन, जो अंतर्ज्ञान से सत्य प्रतीत होता है, परन्तु सत्य प्रमाणित करना संभव प्रतीत नहीं होता हो और जिसे बिना किसी प्रमाण (उपपत्ति) के सत्य मान लिया जाता है, अभिगृहीत कहलाता है.</i><br />
<br />
इन अभिगृहीतों की सहायता से अन्य कथनों को प्रमाणित किया जाता है. इस प्रकार अभिगृहीत गणित में आधारस्तंभ हैं.उदाहरण के लिए ज्यामिति का एक अभिगृहीत है: <i>दो अलग-अलग बिंदुओं से एक और केवल एक रेखा ही गुजर सकती है.</i> अर्थात, दो अलग - अलग बिंदु एक रेखा को पूर्णतः निर्धारित करता है (चित्र - 4 देखें). इस कथन से सभी सहमत होंगे, परन्तु इसे प्रमाणित करना संभव नहीं है. प्रयास करके देखें !<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
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</div>
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</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt="" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKIeQfGqE3cjG51pVK1M1qKwAsEJQg4IxQEaRsCrhdqGXDxOQu484XbaJ7zEZL2-tao4l_2Oo4urvTs6VlRYLIeXtlCaCgp3BPUlWbRa3qGMH8NnQQSpzwI6E_fBsngcxA5UMu29um8vMr/s1600/%25E0%25A4%25B0%25E0%25A5%2587%25E0%25A4%2596%25E0%25A4%25BE.jpg" title="सरल रेखा" /></div>
आधुनिक गणित में अभिगृहीत से तात्पर्य होता है - वैसे कथन जिन्हें सत्य मानकर हम वहाँ से गणित के किसी विषय का प्रारंभ करते हैं और फिर उन कथनों के आधार पर अन्य परिणामों को सिद्ध करते हैं. क्योंकि गणित के उस विषय का प्रारंभ ही इन कथनों से होता है, अतः इन्हें आगे आने वाले परिणामों की सहायता से सिद्ध करने की अनुमति नहीं होती है. इस प्रकार पूर्वोक्त परिभाषा की ही तरह यहाँ भी अभिगृहीत किसी गणितीय अवधारणा के विकास में आधारशिला की तरह कार्य करते हैं. किसी एक ही अवधारणा को अभिगृहीतों के कई तुल्य निकाय (systems) की सहायता से विकास किया जा सकता है. इस प्रकार यदि कोई कथन अभिगृहीतों के किसी निकाय में अभिगृहीत है, तो वह किसी अन्य निकाय में अभिगृहीत नहीं भी हो सकता है, बल्कि अन्य अभिगृहीतोंकी सहायता से सिद्ध किया हुआ परिणाम हो सकता है.<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>अभिगृहीत (आधुनिक परिभाषा):</b></span> <i>वैसा
गणितीय कथन, जिसे किसी गणितीय अवधारणा के विकास के लिए प्रारंभिक कथन के रूप में सत्य स्वीकार कर लिया जाता है, अभिगृहीत कहलाता है.</i><br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>प्रमेय :</b></span> <i>प्रमेय एक गणितीय कथन है, जिसे तर्कसंगत विधि से अभिगृहीतों और ज्ञात परिणामों (जिसे पहले ही प्रमाणित किया जा चुका हों) की सहायता से प्रमाणित किया गया हो. किसी गणितीय पुस्तक या किसी गणितीय शोध पत्र में अत्यंत महत्त्वपूर्ण परिणामों को प्रमेय के अंतर्गत रखा जाता है.</i><br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>उपपत्ति या प्रमाण :</b></span> <i>किसी गणितीय कथन की सत्यता के पक्ष में प्रस्तुत किए गए तर्कसंगत कथनों को उपपत्ति या प्रमाण कहा जाता है.</i><br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>उपप्रमेय :</b></span> <i>किसी प्रमेय का उपप्रमेय एक गणितीय परिणाम है, जिसकी उपपत्ति सामान्यतः छोटी होती है और उस प्रमेय पर आधारित होती है. सामान्यतः किसी प्रमेय की विशेष स्थिति को उपप्रमेय के रूप में व्यक्त किया जाता है.</i><br />
<br />
उदाहरण के लिए, प्रमेय <i>"किसी आयत के सभी कोण समकोण होते हैं" </i>का एक उपप्रमेय है: <i>किसी वर्ग के सभी कोण समकोण होते हैं.</i><br />
<br />
<span style="color: purple;"><b><span style="color: blue;">प्रतिज्ञप्ति :</span> </b></span><i>प्रतिज्ञप्ति भी वैसा गणितीय कथन है, जिसे प्रमाणित किया जा चुका हो, परन्तु यह परिणाम प्रमेय से कम महत्त्वपूर्ण हो.</i><br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>प्रमेयिका :</b></span> <i>किसी प्रमेय को प्रमाणित करने में सहायक परिणाम (जिसे पहले ही प्रमाणित किया जा चुका है) को प्रमेयिका कहा जाता है. </i><br />
<br />
किसी प्रमेय की उपपत्ति को आसान और सुग्राह्य बनाने के उद्देश्य से उस प्रमेय की उपपत्ति के कुछ अंश को कई प्रमेयिकाओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और उनका प्रयोग उपपत्ति के अंतर्गत किया जाता है. कभी - कभी किसी प्रमेयिका की उपपत्ति बहुत ही कठिन और लंबा हो सकता है.<br />
<br />
इन शब्दावलियों का प्रयोग देखने के लिए <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/p/blog-page_19.html" target="_blank">यह लेख देखें</a>.<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>अनुमान :</b></span> <i>अनुमान एक गणितीय कथन है, जिसे प्रमाणित नहीं किया गया हो, परन्तु जो सत्य प्रतीत होता हों. किसी गणितीय कथन को अनुमान तभी कहा जा सकता है, यदि इसे सार्वजनिक रूप से प्रस्तावित किया गया हो. साथ ही, इसके सत्य होने की संभावना के पक्ष में कुछ साक्ष्य प्रस्तुत किए गए हों.</i><br />
<br />
अनुमान प्रस्तावित करने वाले व्यक्ति का नाम उस अनुमान के साथ संयुक्त किया जा सकता है. उदाहरण - <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2015/02/goldbach-conjecture.html" target="_blank">गोल्डबाख अनुमान</a>, <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2015/02/collatz-conjecture.html" target="_blank">कोलाज़ अनुमान</a>, इत्यादि. अनुमान को जब प्रमाणित कर दिया जाता है, तब वह प्रमेय बन जाता है.<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>प्रमेय का विलोम: </b></span> <i>प्रमेय के दो महत्त्वपूर्ण अंग होते हैं - शर्त और निष्कर्ष. शर्तों को ध्यान में रखते हुए निष्कर्ष को प्रमाणित किया जाता है. इसके विपरीत यदि प्रमेय में इन दोनों के स्थान को परस्पर बदल दिए जाएँ, तो परिणामी कथन को उस प्रमेय का विलोम कहा जाता है.</i><br />
<br />
किसी प्रमेय का विलोम सत्य भी हो सकता है या सत्य नहीं भी हो सकता है. यदि विलोम भी सत्य प्रमाणित कर दिया जाए, तो वह स्वयं एक प्रमेय होता है. उदाहरण के लिए, ज्यामिति का एक प्रमेय लीजिए - <i>"यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों, तो इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं."</i> यहाँ शर्त है - दो भुजाओं का बराबर होना, और निष्कर्ष है - सम्मुख कोणों का बराबर होना. इस प्रमेय का विलोम यह होगा - <i>"यदि किसी त्रिभुज के दो कोण बराबर हों, तो इन कोणों के संगत भुजाएँ बराबर होती हैं".</i> वास्तव में यह कथन सत्य है और स्वयं एक प्रमेय है.<br />
<br />
उल्लेखनीय है कि कोई गणितीय परिणाम किसी पुस्तक में या शोध पत्र में प्रमेय के रूप में लिखा हो सकता है और वही परिणाम किसी अन्य पुस्तक में प्रमेयिका या प्रतिज्ञप्ति के रूप में लिखा हो सकता है. इसका कारण यह है कि कोई परिणाम जो किसी शोध पत्र में महत्त्वपूर्ण परिणाम के रूप में व्यक्त किया गया है, वह वहाँ पर प्रमेय के रूप में लिखा जाएगा. परन्तु किसी अन्य शोध पत्र में यदि उसी परिणाम का उपयोग किसी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रमेय की उपपत्ति में किया गया हो, तो पहले परिणाम को प्रमेयिका के रूप में लिखा जाएगा. इस प्रकार इन शब्दावलियों का प्रयोग प्रसंग के अनुसार ही करना चाहिए.<br />
<br />
गणित में इन शब्दालियों के स्थान पर कभी - कभी अन्य शब्दावलियों का प्रयोग भी देखने को मिलता है. जैसे सांख्यिकी में वृहत संख्या प्रमेय के स्थान पर <i>वृहत संख्या नियम </i>का प्रयोग प्रचलित है; त्रिकोणमिति में <i>कोज्या नियम</i> प्रचलित है; गणितीय विश्लेषण में <i>निम्नतम परिबंध सिद्धांत</i>, संख्या सिद्धांत में <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/2014/08/blog-post_26.html" target="_blank">आगमन सिद्धांत</a>, युक्लिडीय <a href="https://ganitanjali.blogspot.in/p/blog-page_51.html" target="_blank">विभाजन कलन विधि</a> इत्यादि. क्योंकि ये शब्दावलियाँ पहले से ही प्रचलित हैं, इनको इसी रूप में लिखा जाता है.<br />
<br />
कभी - कभी गणित में अशुद्ध शब्दावलियों के प्रयोग के भी उदाहरण मिलते हैं. उदाहरण के लिए, पुस्तकों में "फर्मा का अनुमान" के जगह "फर्मा का अंतिम प्रमेय" का प्रयोग किया जाता रहा. परन्तु यह अनुमान अब सही में प्रमेय बन चुका है. इस अनुमान को 1937 में फ्रांसिसी गणितज्ञ पियरी फर्मा ने प्रस्तुत किया था, जिसे संख्या -सिद्धांत की कठिनतम समस्याओं में गिना जाता है. गणितज्ञों के 358 वर्षों के प्रयास के बाद अंततः 1994 में ब्रिटिश गणितज्ञ वाइल्स ने इस अनुमान को प्रमाणित किया और उसके बाद से यह अनुमान अब वास्तव में प्रमेय बन चुका है.<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$\ast\ast\ast$ </div>
<br />
<a href="https://drive.google.com/open?id=0B-b0j4BvhW5Renh6R2dsZVpxN00" target="_blank">मुद्रण / डाउनलोड</a><br />
<br /></div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com1India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-87079836172905624202016-05-10T16:28:00.002+05:302016-07-23T13:51:02.701+05:30गणितज्ञ कैसे बनें ? तीसरी कड़ी : $ab =ba$ क्यों ?<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
<div style="text-align: center;">
<b><i>"गणितज्ञ कैसे बनें ?" गणितीय आलेखों की एक श्रृंखला है, जिसके अंतर्गत विविध गणितीय विषयों पर ऐसे लेख प्रस्तुत किये जाते हैं, जो पाठकों को ज्ञात गणितीय तथ्यों, परिणामों और सूत्रों को स्वयं खोजने के लिए क्रमबद्ध तरीके से प्रेरित करते हैं और जिनसे उनके अंदर गणितीय शोध की स्वाभाविक प्रवृति जागृत होती है.</i></b></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
प्रारंभिक बीजगणित (elementary algebra) के पाठ्यक्रम में बीजीय व्यंजकों (algebraic expressions) से संबंधित समस्याओं को हल करते समय हम सदैव $ab$ और $ba$ को समान मानते हैं. उदाहरण के लिए, हम तत्समक (identity) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ को सिद्ध करते समय इस मान्यता का प्रयोग करते हैं कि $ab = ba$. इसे नीचे सपष्ट किया गया है :<br />
\begin{align*}<br />
(a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\<br />
&= a(a+b)+ b(a+b)\\<br />
&=a^2 + ab + ba + b^2\\<br />
&=a^2 + ab + ab + b^2 ~~~~~~~~~~~~~~~~\text{[क्योंकि $ab =ba$]}\\ <br />
&=a^2 + 2ab + b^2 <br />
\end{align*}<br />
<a name='more'></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
इसी प्रकार, यदि हमें $7$ और $143$ या $219$ और $37549723$ का गुणनफल (product) ज्ञात करना हो, तो अपनी सुविधा के लिए हम क्रमशः $143$ को $7$ से और $37549723$ को $219$ से गुणा करना पसंद करते हैं, न कि $7$ को $143$ से और $37549723$ को $219$ से, क्योंकि हम जानते हैं कि दोनों ही स्थितियों में समान उत्तर प्राप्त होगा.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
परन्तु क्या सदैव $ab = ba$ होता है ? इस प्रश्न का कथन जितना आसान दीखता है, उससे कहीं ज्यादा कठिन इस प्रश्न का उत्तर है. वास्तव में, गणित में कई स्थितियों में $ab$ और $ba$ का मान अलग - अलग होता है. अर्थात, यदि $a$ और $b$ के क्रम को उलट दिया जाए, तो अलग - अलग मान प्राप्त होगा. यह बात प्रारंभिक गणित के पाठकों को असामान्य लग रहा होगा और यह स्वाभाविक भी है. शीघ्र ही हम इसकी व्याख्या कुछ सरल उदाहरणों की सहायता से करेंगे. परन्तु क्या सामान्य पाठकों का उत्तर गलत है ? वास्तव में उनका उत्तर बहुत सारी स्थितियों में सत्य है. जबतक आप "गुणन" की "संक्रिया" चिर-परिचित प्राकृत संख्याओं (natural numbers), पूर्णांक संख्याओं (integers), वास्तविक संख्याओं (real numbers) या सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) के साथ करते हैं, तबतक आप $ab = ba$ का प्रयोग निःसंदेह कर सकते हैं. क्योंकि सामान्य पाठकों का परिचय केवल इन्हीं संख्याओं से होता है, अतः यह कथन कि $ab = ba$ सदैव सत्य नहीं होता है, उन्हें अतार्किक लगता है. तो आइए हम इस प्रश्न का उत्तर खोजने का प्रयास करते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
यदि आप व्यंजक $ab$ को ध्यान से देखें, तो आपको दो बातें सोचनी होंगी: (1) $a$ और $b$ क्या है ? (2) $a$ और $b$ के गुणनफल से क्या तात्पर्य है ? यदि $a$ और $b$ उपरोक्त संख्याएँ हों, तो हमें यह ज्ञात है कि $ab = ba$ सत्य है. यहाँ पर हमने चिर - परिचित गुणनफल का ही प्रयोग किया है. अतः यदि हमें कोई ऐसा प्रति-उदाहरण खोजना हो, जिसमें $ab \neq ba$ हो, तो अवश्य ही या तो संकेत $a$ और $b$ उपरोक्त संख्याओं के जगह कोई अन्य चीजें होनी चाहिए या "गुणनफल" का कोई अन्य अर्थ होना चाहिए. आइए सबसे पहले हम "गुणनफल" पर बातें करते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
"गुणनफल" क्या है ? यदि आप इस प्रश्न पर गहराई से सोचें, तो आप पाएँगे कि इस प्रश्न का उत्तर वास्तव में कठिन है. यदि आप वास्तविक संख्याओं के ही गुणनफल पर विचार करें, तो उत्तर प्राप्त करना कठिन होगा. आइए, इस कठिनाई को हम कुछ उदाहरणों की सहायता से स्पष्ट करते हैं. मान लीजिए, आपसे कहा जाए कि $3$ को $5$ से गुणा करें, तो आपका शीघ्र ही उत्तर होगा : $15$. वास्तव में, आप $3$ को $5$ बार जोड़ते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
\[3 \times 5 = 3 + 3+ 3+ 3+ 3 = 15.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
इसी प्रकार,</div>
<div style="text-align: justify;">
\[23 \times 19 = \underbrace{23 + \cdots + 23}_{19~ \text{बार}}.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
यद्यपि, इस बार आपने इस प्रक्रिया का उपयोग नहीं किया होगा, और गुणा करने की व्यावहारिक विधियों का उपयोग किया होगा. क्या आपने कभी प्रश्न किया है कि गुणा हम उसी विधि से ही क्यों करते हैं ? वास्तव में यह प्रश्न पूछना यह पूछने के समान है कि गुणनफल क्या है ? अत्यधिक व्यापक रूप में, यदि $a$ और $b$ दो प्राकृत संख्याएँ हों, तो</div>
<div style="text-align: justify;">
\[ab := a \times b = \underbrace{a + \cdots + a}_{b ~\text{बार}}.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
परन्तु आप गुणनफल की इस संकल्पना का उपयोग सदैव नहीं कर सकते हैं. उदाहरण के लिए, इस विधि से आप $1.5$ को $0.7$ से गुणा नहीं कर पाएँगे, क्योंकि $0.7$ बार का उस तरह का कोई अर्थ नहीं है. समस्या को थोड़ा और कठिन बनाते हैं. आप $\sqrt{2}$ और $\sqrt{3}$ के गुणनफल पर विचार करें, तो आपको कठिनाई पता चल जाएगी. अतः दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल उपरोक्त विधि से परिभाषित नहीं किया जा सकता है. वास्तविक संख्याओं के गुणनफल को परिभाषित करने की व्यवस्थित विधि है. परन्तु यहाँ हम इसकी चर्चा नहीं करेंगे, क्योंकि यह अत्यंत तकनीकी विषय है और सामान्य पाठकों के लिए दुरूह है और पाठकों से गणित के उच्च-स्तरीय ज्ञान की अपेक्षा रखता है. परन्तु यहाँ हम "गुणनफल" के व्यापक अर्थ पर चर्चा करेंगे, जिन्हें समझना सामान्य पाठको के लिए आसान है. यह भी उल्लेखनीय है कि वास्तविक संख्याओं के गुणनफल के क्रमविनिमेयता (commutativity) का गुणधर्म (ab = ba) भी कुछ अभिगृहीतों (axioms) की सहायता से स्थापित किया जा सकता है. इन विषयों पर विस्तृत चर्चा हम अपने लेखों की शृंखला <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/p/blog-page_77.html" target="_blank">संख्याओं की आधारशिला</a> (foundation of numbers) में करेंगे.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
यदि आप दो वास्तविक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आपको एक अन्य वास्तविक संख्या प्राप्त होती है. इस प्रकार चिर-परिचित गुणनफल की प्रक्रिया ($\times$) एक प्रकार की गणितीय "संक्रिया" हैं, जो किन्हीं वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म $(a, b)$ का सम्बन्ध एक अद्वितीय वास्तविक मान $c$ से स्थापित करता है और हम लिखते हैं</div>
<div style="text-align: justify;">
\[ab := a \times b = c.\] </div>
<div style="text-align: justify;">
अर्थात $a \times b = c$. उदाहरण के लिए, यदि $a = 2$ और $b = 3$, तो $c = 6$ होता है. इसी प्रकार, यदि $a = 1.5$ और $b = 0.7$, तो $c = 1.05$ होता है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
गुणनफल की यह संक्रिया एक प्रकार की ''द्विआधारी संक्रिया (binary operation)'' है, क्योंकि यह संक्रिया क्रमित युग्मों पर लागू किया जाता है. गणित में कई प्रकार की द्विआधारी संक्रियाएँ हैं. उदाहरण के लिए, योग की संक्रिया ($+$) और व्यवकलन यानि घटाव (subtraction) की संक्रिया ($-$). अत्यधिक व्यापक रूप में, द्विआधारी संक्रिया को निम्न प्रकार परिभाषित किया जा सकता है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>परिभाषा (द्विआधारी संक्रिया):</b> <i>मान लीजिए $S$ एक अरिक्त समुच्चय (nonempty set)है. एक द्विआधारी संक्रिया $\ast$ एक फलन होता है, जो क्रमित युग्मों $(a, b)$, जहाँ $a$ और $b$ समुच्चय $S$ के अवयव हैं, का संबंध समुच्चय $S$ के एक अद्वितीय अवयव $c$ से करता है. हम संकेत में लिखते हैं :</i></div>
<div style="text-align: justify;">
<i>\[\ast(a, b) = a \ast b = c. \]</i></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
उदाहरण के लिए , $3 \times 5 = 15$ में $(a, b) = (3, 5)$ और $c = 15$ है, जहाँ द्विआधारी संक्रिया $\ast$ गुणनफल की संक्रिया $\times $ है. ध्यान दें कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ में घटाव की संक्रिया ($-$) एक द्विआधारी संक्रिया है, परन्तु यही संक्रिया प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{N}$ में द्विआधारी संक्रिया नहीं हैं, क्योंकि सभी संख्या -युग्मों पर इस द्विआधारी संक्रिया के पश्चात् प्राप्त परिणाम समुच्चय $\mathbb{N}$ के अवयव नहीं होते हैं. उदाहरण के लिए, $3 - 5 = -2$, परन्तु $-2$ प्राकृत संख्या नहीं है. अब हम इस स्थिति में पहुँच गए हैं कि पूर्व में उठाए प्रश्न का उत्तर खोज सके. हम इसे निम्नलिखित उदाहरणों की सहायता से स्पष्ट करेंगे.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #274e13;"><b>उदाहरण 1.</b></span> हम प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{N}$ में एक ऐसी द्विआधारी संक्रिया $\ast$ परिभाषित करेंगे जिससे कि दो भिन्न - भिन्न प्राकृत संख्याओं $a$ और $b$ के लिए $a \ast b \neq ba$ होता हो. हम</div>
<div style="text-align: justify;">
\[a \ast b = a \times (b + 1)\]</div>
<div style="text-align: justify;">
परिभाषित करते हैं. यह देखना आसान है कि यह संक्रिया एक द्विआधारी संक्रिया है, क्योंकि यह प्रत्येक संख्या - युग्म $(a, b)$ का संबंध एक अन्य संख्या $a \times (b + 1)$ से करता है, जो एक प्राकृत संख्या है. आप आसानी से देख सकते हैं कि $a \ast b \neq b\ast a$, क्योंकि</div>
<div style="text-align: justify;">
\[a \ast b = a \times(b + 1) = ab + a ~ \text{जबकि }~ b \ast a = b\times(a + 1) = ba + b. \]</div>
<div style="text-align: justify;">
इसे संख्यात्मक उदाहरण लेकर समझते हैं. हम $a = 3$ और $b = 5$ चुनते हैं, तब</div>
<div style="text-align: justify;">
\[3 \ast 5 = 3\times(5 + 1) = 3 \times 6 = 18,\]</div>
<div style="text-align: justify;">
जबकि</div>
<div style="text-align: justify;">
\[5 \ast 3 = 5 \times(3+1) = 5 \times 4 = 20.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #38761d;"><b>उदाहरण 2.</b></span> मान लीजिये $X$ सभी प्रांत $\mathbb{R}$ वाले वास्तविक मान फलनों (real valued functions) का समुच्चय है. इस प्रकार के फलनों से हमारा तात्पर्य है: ये फलन वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित हैं और इनके मान भी वास्तविक संख्याएँ हैं. हम समुच्चय $X$ में किन्हीं दो फलनों $f$ और $g$ का संयोजन $f \circ g$ निम्न प्रकार परिभाषित करते हैं:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[f \circ g(x) = f(g(x)).\]</div>
<div style="text-align: justify;">
ध्यान दीजिए कि संक्रिया $\circ$ समुच्चय $X$ में एक द्विआधारी संक्रिया है, क्योंकि इस संक्रिया के परिणामस्वरूप समुच्चय $X$ के किन्हीं दो फलनों $f$ और $g$ का संयोजन $f \circ g$ एक वास्तविक प्रांत वाले वास्तविक मान फलन है. अब मान लीजिये $f(x) = 2x$ और $g(x) = x + 1$. तब सभी $x$ के लिए,</div>
<div style="text-align: justify;">
\[f \circ g(x) = f(g(x)) = f(x+1) = 2(x+1) = 2x + 2\]</div>
<div style="text-align: justify;">
और</div>
<div style="text-align: justify;">
\[g \circ f(x) = g(f(x)) = g(2x) = 2x + 1.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
क्योंकि $2x + 2 \neq 2x + 1$, इसलिए, सभी $x$ के लिए, $f \circ g(x) \neq g\circ f(x)$. अतः</div>
<div style="text-align: justify;">
\[f \circ g \neq g \circ f.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
इस उदाहरण में हमने देखा कि यहाँ समुच्चय संख्याओं का नहीं था और न ही द्विआधारी संक्रिया चिर-परिचित गुणनफल की संक्रिया थी.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
हम एक अन्य उदाहरण देंगे. इस उदाहरण के समुच्चय के अवयव वास्तविक संख्याओं का व्यापकीकरण (generalization) माना जा सकता है. उदाहरण देने से पहले, हम एक परिभाषा देना चाहते हैं. एक $m \times n$ वास्तविक आव्यूह (real matrix) $A$, $m$ पंक्तियों (rows) और $n$ स्तंभों (columns) वाली सारणी है, जिसके $i$वें पंक्ति और $j$वें स्तम्भ की प्रविष्टि (entry) को $a_{ij}$ से व्यक्त किया जाता है. इस स्थिति में हम संक्षिप्त में $A = (a_{ij})$ लिखते हैं और विस्तार में इसे इस प्रकार निरूपित करते हैं:</div>
\[A=\begin{pmatrix}<br />
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\<br />
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\<br />
& & \vdots&\\<br />
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
यदि $A = (a_{ij})$ और $B = (b_{ij})$ क्रमशः $m \times n$ और $n \times p$ वास्तविक आव्यूह हों, तो इनका गुणनफल $AB$ एक $m \times p$ आव्यूह $C = (c_{ij})$ होता है, जहाँ $c_{ij}$ निम्न प्रकार परिभाषित है:<br />
<div style="text-align: justify;">
\[c_{ij} = \sum_{k = 1}^{n}a_{ik}b_{kj}.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
ध्यान दें कि दो आव्यूहों का गुणनफल (product of matrices) परिभाषित होने के लिए पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दुसरे आव्यूहों की पंक्तियों की संख्या के बराबर होना चाहिए. दो $m \times n$ आव्यूह $A = (a_{ij})$ और $B = (b_{ij})$ समान कहे जाते हैं अर्थात $A = B$ यदि और केवल यदि इनकी संगत प्रविष्टियाँ समान हों, अर्थात सभी $i$ और $j$ के लिए $a_{ij} = b_{ij}$. आव्यूहों पर विस्तृत चर्चा हम किसी अन्य लेख में करेंगे. यदि उपरोक्त परिभाषाएँ आपको कठिन प्रतीत होती हैं, तो आप कुछ विशेष स्थितियों को समझने का प्रयास करें, जिसकी चर्चा हम नीचे कर रहे हैं. हम केवल $2 \times 2$ आव्यूहों पर विचार करते हैं. मान लीजिये </div>
<br />
<br />
\[A=\begin{pmatrix}<br />
a_1 & a_2\\<br />
b_1 & b_2<br />
<br />
\end{pmatrix}<br />
~\text{और}~ <br />
B=<br />
\begin{pmatrix}<br />
c_1 & c_2\\<br />
d_1 & d_2<br />
<br />
\end{pmatrix}<br />
\]<br />
<div style="text-align: justify;">
दो आव्यूह हैं. हम कहते हैं कि $A = B$ यदि और केवल यदि $a_1 = c_1, a_2 = c_2, b_1 = d_1, b_2 = d_2$. इनका गुणनफल $AB$ निम्न प्रकार परिभाषित है:</div>
<br />
<br />
\[AB = \begin{pmatrix}<br />
a_1c_1 + a_2d_1 & a_1c_2+a_2d_2\\<br />
b_1c_1 + b_2d_1 & b_1c_2+ b_2d_2<br />
<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<div style="text-align: justify;">
इसी प्रकार, हम देख सकते हैं कि </div>
\[BA = \begin{pmatrix}<br />
c_1a_1 + c_2b_1 & c_1a_2+c_2b_2\\<br />
d_1a_1 + d_2b_1 & d_1a_2+ d_2b_2<br />
<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<div style="text-align: justify;">
यह ध्यान देने योग्य है कि $AB $ और $BA$ के मान सभी स्थितियों में समान नहीं हो सकते हैं. नीचे हम एक उदाहरण देते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #274e13;"><b>उदाहरण 3</b></span>. मान लीजिये </div>
\[A=\begin{pmatrix}<br />
1 & 2\\<br />
3 & 4<br />
<br />
\end{pmatrix}<br />
~\text{और}~ <br />
B=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & 5\\<br />
1 & 3<br />
<br />
\end{pmatrix}<br />
\]<br />
<div style="text-align: justify;">
दो आव्यूह हैं. तब</div>
\[AB = \begin{pmatrix}<br />
4 & 11\\<br />
10 & 27<br />
<br />
\end{pmatrix}<br />
~\text{और}~<br />
BA = \begin{pmatrix}<br />
17 & 24\\<br />
10 & 14<br />
<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<div style="text-align: justify;">
स्पष्ट है कि $AB \neq BA$. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार हमने देखा कि ऐसी सुपरिभाषित गणितीय वस्तुओं (well-defined mathematical objects) $a, b$ और उनपर परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं $\ast$ का अस्तित्व है, जिससे कि $ab \neq ba$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
यदि $S$ कोई अरिक्त समुच्चय हों और $\ast $ इस समुच्चय पर परिभाषित कोई द्विआधारी संक्रिया हों, तो समुच्चय $S$ और द्विआधारी संक्रिया $\ast$ को संयुक्त रूप से एक <i>बीजीय संरचना</i> (algebraic structure) कहते हैं, और इस प्रकार एक बीजीय संरचना एक युग्म $(S, \ast)$ होता है, जहाँ $S$ एक अरिक्त समुच्चय है और $\ast $ उस समुच्चय पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है. उदाहरण के लिए, गुणन की संक्रिया ($\times$) के साथ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय एक बीजीय संरचना है, जिसे $(\mathbb{N}, \times)$ से व्यक्त किया जाता है. परन्तु घटाव ($-$) की संक्रिया के साथ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय एक बीजीय संरचना नहीं है, क्योंकि घटाव की संक्रिया प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है. बीजीय संरचना होने के लिए संक्रिया का द्विआधारी संक्रिया होना आवश्यक है. यह भी ध्यान दें कि एक ही समुच्चय पर एक से अधिक द्विआधारी संक्रिया परिभाषित किया जा सकता है और इस प्रकार हमें एक ही समुच्चय के लिए भिन्न - भिन्न बीजीय संरचना प्राप्त होगी. उदाहरण के लिए, $(\mathbb{N}, \times)$ और $(\mathbb{N}, +)$ दो भिन्न - भिन्न बीजीय संरचना है, यद्यपि यहाँ निहित समुच्चय एक ही है. यदि किसी समुच्चय $S$ पर परिभाषित कोई द्विआधारी संक्रिया $\ast$ क्रमविनिमेय हो, तो बीजीय संरचना $(S, \ast)$ को क्रमविनिमेय बीजीय संरचना (commutative algebraic structure) कहते हैं, अन्यथा इसे अक्रमविनिमेय बीजीय संरचना (noncommutative algebraic structure) कहते हैं. बीजीय संरचनाओं के विषय में गहन अध्ययन उच्च-स्तरीय गणित के पाठ्यक्रम "अमूर्त बीजगणित (abstract algebra)" में किया जाता है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: purple;">इस आलेख की गुणवत्ता में सुधार हेतु और इसकी उपयोगिता बढ़ाने के लिए आपके सुझाव व टिप्पणियाँ आमंत्रित हैं. कृपया यहाँ टिपण्णी करें या <a href="mailto:ganitanjalii@gmail.com">ganitanjalii@gmail.com</a> पर ई-मेल करें.</span></div>
<br />
<< दूसरी कड़ी : <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/2015/05/infinitude-of-prime-numbers.html" target="_blank">अभाज्य संख्याओं की अनंतता (Infinitude of Prime Numbers) </a></div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com2India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-69398823732543536812015-12-31T19:25:00.002+05:302016-06-13T18:45:33.651+05:30द्विघातीय समीकरण<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: center;">
<i>द्विघातीय समीकरण प्रारंभिक बीजगणित के क्षेत्र में अध्ययन की एक महत्त्वपूर्ण विषय - वस्तु है. प्रस्तुत लेख में इस समीकरण ,इसके हल की विधियों और इसके इतिहास पर विस्तृत चर्चा की गई है.</i></div>
<br />
<span style="font-size: large;">1. परिचय </span><br />
<br />
<i>द्विघातीय समीकरण</i> (quadratic equation) द्वितीय घात वाला एक बहुपद समीकरण (polynomial equation) है, जिसका व्यापक रूप<br />
\begin{equation}\label{qe}<br />
ax^2 + bx + c = 0<br />
\end{equation}<br />
<div style="text-align: justify;">
होता है, जहाँ $a, b, c$ अचर (constant) हैं और $a$ शून्येतर (nonzero) है. यदि $a = 0$, तो उपरोक्त समीकरण रैखिक समीकरण (linear equation) होता है. ये अचर या तो वास्तविक संख्या (real numbers) होते हैं या सम्मिश्र संख्या (complex numbers) या किसी व्यापक क्षेत्र (field) के अवयव हो सकते हैं. यदि सभी अचर वास्तविक संख्याएँ हों, तो उपरोक्त समीकरण को <i>वास्तविक द्विघातीय समीकरण</i> (real quadratic equation) कहा जाता है. ध्यान दें कि उपरोक्त समीकरण में केवल एक चर (variable) $x$ विद्यमान है. अतः ऐसे समीकरण को कभी - कभी <i>एक चर वाले द्विघातीय समीकरण </i>(quadratic equation of single variable)<i> </i>भी कहते हैं. प्रस्तुत लेख में हम केवल वास्तविक द्विघातीय समीकरण पर चर्चा करेंगे और जब तक कि स्पष्ट रूप से न कहा जाए, द्विघातीय समीकरण से हमारा तात्पर्य होगा - वास्तविक द्विघातीय समीकरण. द्विघातीय समीकरण के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं.</div>
\begin{align}<br />
x^2 &= 0 \label{ex1} \\<br />
x^2 - 1 &= 0 \label{ex2}\\<br />
x^2 + 1 &= 0 \label{ex3}\\<br />
x^2 + 5x + 6 &= 0 \label{ex4}\\<br />
x^2 +2 x + 1 &= 0 \label{ex5}\\<br />
x^2 - x + 1 &= 0 \label{ex6}\\<br />
\sqrt{2}x^2 + 3x - \sqrt{3} &= 0. \label{ex7}<br />
\end{align}<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
समीकरण $(\ref{qe})$ और समीकरण $(\ref{ex3})$ द्विघातीय समीकरण का मानक रूप (standard form) है. कुछ द्विघातीय समीकरण मानक रूप में नहीं होते हैं. परन्तु इन्हें मानक रूप में परिवर्तित किया जा सकता है. उदाहरण के लिए समीकरण </div>
<div style="text-align: justify;">
\[2x + 1 = \frac{5x + 1}{3x-1}\]</div>
<div style="text-align: justify;">
एक द्विघातीय समीकरण है, जो मानक रूप में नहीं है. इस समीकरण को सरल कर मानक रूप में निम्नलिखित द्विघातीय समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है.</div>
<div style="text-align: justify;">
\[6x^2 - 4x - 2 = 0.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
किसी संख्या (वास्तविक या सम्मिश्र) $\alpha$ को समीकरण $(\ref{qe})$ का मूल (root) या शून्यक (zero) कहा जाता है, यदि चर $x$ के इस मान के लिए यह समीकरण संतुष्ट होता हो, अर्थात</div>
<div style="text-align: justify;">
\[a\alpha^2 + b\alpha + c = 0.\]<br />
<a name='more'></a></div>
<div style="text-align: justify;">
किसी भी द्विघातीय समीकरण के सदैव दो मूल होते हैं. ये मूल भिन्न - भिन्न या समान हो सकते हैं. उदाहरण के लिए, समीकरण $(\ref{ex1})$ के दोनों मूल शून्य $(0)$ हैं. परन्तु समीकरण $(\ref{ex2})$ के दो भिन्न - भिन्न मूल $-1$ और $1$ हैं. द्विघातीय समीकरण के मूल अवास्तविक अर्थात सम्मिश्र संख्या भी हो सकते हैं. उदाहरण के लिए समीकरण $(\ref{ex3})$ के दो सम्मिश्र मूल $-i$ और $-i$ हैं. ध्यान दें कि किसी भी द्विघातीय समीकरण के सदैव दो मूल होते हैं, परन्तु अलग - अलग वास्तविक मूलों की संख्या $0, 1$ या $2$ हो सकती है. उदाहरण के लिए, समीकरण $(\ref{ex1})$ दो समान वास्तविक मूल $0$ हैं, जबकि समीकरण $(\ref{ex2})$ के दो अलग - अलग वास्तविक मूल हैं. परन्तु समीकरण $(\ref{ex3})$ का कोई भी मूल वास्तविक नहीं है. मूलों की संख्या और उनकी प्रकृतियों पर चर्चा हम आगे के अनुच्छेद में करेंगे. द्विघातीय समीकरण के इतिहास पर प्रकाश डालने से पहले आइए, इसके हल की विधियों पर चर्चा करें. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">2. द्विघातीय समीकरण के हल की विधियाँ (Methods of Solutions)</span><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
द्विघातीय समीकरण के हल की कई विधियाँ हैं. उदाहरण के लिए, गुणनखंडन विधि (factorization method), बीजीय विधियाँ (algebraic methods), ज्यामितीय या आलेखी विधि (geometrical or graphical method), सांख्यिक विधियाँ (numerical methods), इत्यादि. इनमें से यहाँ हम केवल गुणनखंडन विधि और बीजीय विधियों पर चर्चा करेंगे. जैसा कि हम आगे देखेंगे कि गुणनखंडन विधि सभी समीकरणों को हल करने में सक्षम सिद्ध नहीं होती है. परन्तु बीजीय विधियाँ सरल हैं और सभी समीकरणों को हल करने में प्रयुक्त होती हैं. ज्यामितीय या आलेखी विधि द्वारा भी सभी समीकरणों को हल किया जा सकता है, परन्तु प्राप्त हल की परिशुद्धता आलेख की परिशुद्धता भी निर्भर करती है. अतः सटीक हल प्राप्त करना कठिन हो सकता है. सांख्यिक विधियों का विकास संगणक के माध्यम से समीकरण को हल करने के लिए किया गया है. परन्तु ये विधियाँ भी अधिकांश स्थितियों में मूलों का सन्निकट मान देने में ही सक्षम है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>2.1 गुणनखंडन विधि</b><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
इस विधि में हम समीकरण $(\ref{qe})$ के वाम पक्ष को दो रैखिक बहुपदों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं:</div>
\begin{equation}\label{qef}<br />
ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s).<br />
\end{equation}<br />
<div style="text-align: justify;">
तब समीकरण $(\ref{qe})$ का हल रखिक समीकरणों $px + q = 0$ और $rx + s = 0$ को हल करने के तुल्य होता है. इनके हल क्रमशः $-\frac{q}{p}$ और $-\frac{s}{r}$ हैं. अतः समीकरण $(\ref{qe})$ के मूल$-\frac{q}{p}$ और $-\frac{s}{r}$ होंगे. परन्तु इन रैखिक बहुपदों को ज्ञात करना सदैव आसान नहीं है. कभी - कभी हम अनुमान द्वारा इन्हें ज्ञात कर सकते हैं. आइये देखें कि अनुमान कैसे लगाया जा सकता है. यदि समीकरण $(\ref{qef})$ को सरल करें, तो हमें प्राप्त होगा:<br />
\[ax^2 + bx + c = prx^2 + (ps + qr)x + qs.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
यदि हम $\ell = ps$ और $m = qr$ मान लें, तो हम देख सकते हैं कि<br />
\[b = \ell + m\]<br />
और<br />
\[ac = \ell m.\]<br />
इस प्रकार हम देखते हैं कि $ax^2 + bx + c$ का गुणनखंडन करने के लिए हमें दो संख्याएँ $\ell$ और $m$ ज्ञात करनी होंगी, जो उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करता हो. अर्थात हम $b$ को दो ऐसी संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त करते हैं, जिनका गुणनफल $ac$ हो. इस प्रकार मध्य पद $bx$ दो भागों में विभक्त हो जाता है. एक भाग को हम पद $ax^2$ के साथ रखते हैं और दुसरे भाग को $c$ के साथ और तब हम प्रत्येक भाग में गुणनखंडन की प्रक्रिया आसानी से कर सकते है. आइये इसे एक उदाहरण के द्वारा समझें. हम इस विधि से समीकरण $(\ref{ex4})$ को हल करेंगे. यहाँ $a = 1, b= 5$ और $c = 6$ हैं. हम दो संख्याएँ $\ell$ और $m$ प्राप्त करना चाहते हैं, जिससे कि $\ell + m = 5$ और $\ell m = ac = 6$ हों. ध्यान दें कि संख्याएँ $\ell$ और $m$ संख्या $ac$ के गुणनखंड होते हैं. हम $6$ को दो संख्याओं के गुणनफल के रूप में निम्न प्रकार लिख सकते हैं.<br />
\[6 = 1 \times 6 = 2 \times 3.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
इन गुणनखंड-युग्मों में से हमें एक युग्म चुनना होगा जो $\ell + m = 5$ को संतुष्ट करें. आप देख सकते हैं कि $\ell = 2$ और $m = 3$ इस प्रतिबंध को संतुष्ट करता है. अतः<br />
\[x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x+2) + 3(x+2) = (x+2)(x+ 3).\]<br />
इस प्रकार<br />
\[x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) = 0.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
अतः या तो $x+ 2 = 0$ या $x + 3 =0$. हल करने पर हमें $x = -2$ और $x = -3$ प्राप्त होता है.<br />
देखने में यह विधि आसान लगती है. परन्तु यह सदैव व्यावहारिक सिद्ध नहीं होती. मूल समस्या है: $ac$ के गुणनखंडों में से $\ell$ और $m$ का चयन करना. परन्तु ये संख्याएँ पूर्णांक नहीं भी हो सकती हैं. कभी - कभी तो वास्तविक भी नहीं हो सकती. ये संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ भी हो सकती हैं. चूँकि $ac$ के अनंत वास्तविक और सम्मिश्र गुणनखंड हैं. अतः इन संख्याओं का पता लगाना कठिन हो जाता है. ये संख्याएँ पूर्णांक तभी हो सकती है, यदि समीकरण के मूल परिमेय संख्याएँ हों. परन्तु प्रारंभ में हमें समीकरण के मूलों की प्रकृति के विषय में कुछ भी ज्ञान नहीं होता है. उदाहरण के लिए आप समीकरण $(\ref{ex3})$ को इस विधि से हल करने का प्रयास कर सकते हैं. यहाँ $a = 1, b=0$ और $c = 1$. अतः $ac = 1$. आप $1$ को केवल $1 \times 1$ या $(-1)\times(-1)$ के रूप में पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं. इन गुणनखंडों में से किसी भी युग्म का योग $0$ नहीं हैं. वास्तव में, कोई भी वास्तविक संख्याओं का युग्म उपरोक्त प्रतिबंधों को संतुष्ट नहीं कर सकता है (क्यों ?). अतः यह विधि निरर्थक सिद्ध होती है.<br />
<br />
<b>2.2. बीजीय विधि </b><br />
<br />
यह विधि वर्ग पूर्ण करने की विधि (method of completing the square) पर आधारित है. वर्ग पूर्ण करने की विधि में तत्समक $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ का प्रयोग किया जाता है. यहाँ पर हम <i>श्रीधराचार्य विधि</i> (Shridharacharya Method) द्वारा द्विघातीय समीकरण हल करने की विधि का वर्णन करेंगे. द्विघातीय समीकरण का हल प्रस्तुत करने वाले आरम्भिक गणितज्ञों में श्रीधराचार्य का नाम अग्रणी है. श्रीधराचार्य प्राचीन भारत के एक महान गणितज्ञ थे. इन्होंने अन्य गणितज्ञों की तुलना में शून्य की सर्वाधिक स्पष्ट व्याख्या की तथा द्विघातीय समीकरण को हल करने के लिए सूत्र का प्रतिपादन किया. श्रीधर ने बीजगणित पर एक वृहद् ग्रन्थ की रचना की थी जो अब उपलब्ध नहीं है. परन्तु भारतीय गणितज्ञ भास्कर द्वितीय ने अपने बीजगणित में द्विघातीय समीकरणों के हल के लिए श्रीधर के नियम को उद्धृत किया है -
<br />
<div style="text-align: center;">
<b>चतुराहतवर्गसमै रुपैः पक्षद्वयं गुणयेत |</b><br />
<b>अव्यक्तवर्गरुयैर्युक्तौ पक्षौ ततो मूलम्</b> <b>||</b></div>
<div style="text-align: justify;">
अर्थात, समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात चर के वर्ग के गुणांक के चार गुने से गुणा करें, दोनों पक्षों में अज्ञात चर के गुणांक का वर्ग जोड़ें और तब दोनों पक्षों का वर्गमूल लें. ध्यान रखें कि उपरोक्त श्रीधराचार्य ने द्विघातीय समीकरण को $ax^2 + bx = c$ के रूप में लिया था. अतः हम समीकरण $(\ref{qe})$ को $ax^2 + bx = -c$ के रूप में लिखकर उपरोक्त प्रक्रिया अपनाते हैं:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[ax^2 + bx = -c.\] </div>
<div style="text-align: justify;">
दोनों पक्षों को $4a$ से गुणा करने पर प्राप्त होता है:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[4a^2x^2 + 4abx = -4ac.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
दोनों पक्षों में $b^2$ जोड़ने और सरल करने पर प्राप्त होता है:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[4a^2x^2 + 4abx + b^2=b^2 - 4ac \]</div>
<div style="text-align: justify;">
\[(2ax+b)^2 = b^2 - 4ac.\] </div>
<div style="text-align: justify;">
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होगा:</div>
\[2ax + b = \sqrt{(b^2 - 4ac)}.\]<br />
यहाँ पर इस बात का कोई प्रमाण नहीं है कि श्रीधराचार्य ने वर्गमूल के दोनों मान लिए थे. यहाँ हम दोनों मान लेते हैं, जिन्हें हम $\sqrt{b^2 -4ac}$ और $-\sqrt{b^2 -4ac}$ से निरूपित करेंगे. तब हमें दो रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:<br />
\[2ax + b = \sqrt{(b^2 - 4ac)}.\]<br />
और<br />
\[2ax + b =- \sqrt{(b^2 - 4ac)}.\]<br />
इन समीकरणों को हल करने पर हमें $x$ के दो मान प्राप्त होते हैं जिन्हें हम $\alpha$ और $\beta$ से निरूपित करते है. इस प्रकार<br />
\[\alpha = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]<br />
\[\beta = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]<br />
यदि हम $b^2 - 4ac$ को $D$ से व्यक्त करें, तो हमें समीकरण $(\ref{qe})$ के मूलों को ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:<br />
\begin{equation}\label{roots}<br />
\alpha = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} ~ \text{और}~ \beta = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}.<br />
\end{equation}<br />
आइए हम सूत्र $(\ref{roots})$ की सहायता से समीकरण $(\ref{ex3})$ को हल करते हैं. यहाँ $a = 1, b= 0, c= 1$ हैं. इसीलिए, $D = b^2 - 4ac = -4$. अतः<br />
\[\alpha = \frac{-0 +\sqrt{-4}}{2}= \frac{2i}{2} =i. \]<br />
इसी प्रकार, $\beta = -i.$ इस प्रकार इस समीकरण के मूल अवास्तविक हैं, जैसा कि पहले कहा गया था. ध्यान दें के यदि $D < 0$, तो हमें सम्मिश्र मूल प्राप्त होते हैं, क्योंकि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल सम्मिश्र संख्या होता है. परन्तु यदि $D \geq 0$, तो हमें $D$ का वास्तविक वर्गमूल प्राप्त होगा और हमें वास्तविक मूल प्राप्त होंगे. आइये मूलों की प्रकृति पर विस्तार से चर्चा करें.<br />
<br />
<b>2.3. मूलों की प्रकृति (Nature of Roots)</b><br />
<br />
<b>स्थिति 1</b> ($D > 0$). इस स्थिति में हमें दो वास्तविक और असमान मूल प्राप्त होंगे (असमान कयों ?), जिन्हें उपरोक्त सूत्र से ज्ञात किया जा सकता हैं.<br />
<br />
<b>स्थिति 2</b> (D = 0). इस स्थिति में स्पष्ट है कि $\alpha = \beta = - \frac{b}{2a}$. अतः हमें वास्तविक और समान मूल प्राप्त होते हैं.<br />
<br />
<b>स्थिति 3</b> (D < 0). इस स्थिति में $D$ का वर्गमूल अवास्तविक होता है. अतः हमें दो सम्मिश्र और असमान मूल प्राप्त होते है, जिन्हें उपरोक्त सूत्र की सहायता से ज्ञात किया जा सकता है. ध्यान दें कि इस स्थिति में $\alpha$ और $\beta$ परस्पर सम्मिश्र संयुग्मी होते है.<br />
<br />
इस प्रकार हम देखते हैं सम्मिश्र मूल की संख्या कभी भी एक नहीं हो सकती. वास्तव में निम्नलिखित परिणाम सत्य होता है.<br />
<b>प्रमेय 1.</b> <i>मान लीजिए $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं. यदि $a + ib$ द्विघातीय समीकरण $(\ref{qe})$ का एक मूल हो, तो इसका संयुग्मी $a - ib$ भी समीकरण $(\ref{qe})$ का मूल होगा.</i><br />
<br />
इसी से मिलता जुलता एक और परिणाम सत्य है.<br />
<b>प्रमेय 2.</b> <i>मान लीजिए $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $b$ धनात्मक हैं जिससे कि $\sqrt{b}$ एक अपरिमेय संख्या है. यदि $a + \sqrt{b}$ समीकरण $(\ref{qe})$ का एक मूल हो, तो $a - \sqrt{b}$ भी इस समीकरण का मूल होगा.</i><br />
<br />
उपरोक्त प्रमेय के अनुसार, सम्मिश्र मूलों की तरह अपरिमेय मूल भी युग्मों में प्राप्त होते हैं. क्योंकि व्यंजक $D$ मूलों की प्रकृति की विवेचना करता है, इसलिए हम इसे <i>विवेचक </i>कहते हैं.<br />
<br />
<b>2.4. मूलों का योग और गुणन</b><br />
<br />
द्विघातीय सूत्र $(\ref{roots})$ की सहायता से यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि<br />
\begin{equation}\label{relation}<br />
\alpha + \beta = -\frac{b}{a} ~ \text{और}~ \alpha \beta = \frac{c}{a}.<br />
\end{equation}<br />
<br />
<b>2.5. द्विघातीय बहुपद का गुणनखंडन</b><br />
<br />
द्विघातीय सूत्र $(\ref{roots})$ और संबंध $(\ref{relation})$ की सहायता से यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि<br />
\[ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta). \]<br />
<br />
<span style="color: red;"><i>यह लेख अभी प्रगति में है.......</i></span><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$\ast \ast \ast$<br />
<div style="text-align: left;">
संबंधित लेख: <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/2015/07/cubic-equation.html" target="_blank"><span style="color: red;">त्रिघातीय समीकरण</span></a></div>
</div>
</div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com1India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-27715393943970724692015-07-19T10:28:00.000+05:302015-07-19T10:28:00.589+05:30गणितीय शब्दावलियों की व्याख्या-2<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
गणित में प्रयुक्त होने वाली कुछ शब्दावलियाँ</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /> शंकु (cone) से हम सभी
परिचित है. निर्देशांक ज्यामिति (co-ordinate geometry) में हम परवलय
(parabola), दीर्घवृत्त (ellipse) और अतिपरवलय (hyperbola) का अध्ययन करते
हैं. इन तीनों वक्रों को शांकव (conics) कहा जाता है, क्योंकि शंकु को किसी
समतल (plane) द्वारा अलग अलग तरीके से प्रतिच्छेद करने पर ये वक्र प्राप्त
होते हैं (नीचे का चित्र देखें). शांकव का अर्थ होता है - शंकु से
उत्पन्न, ठीक वैसे ही जैसे पांडु से उत्पन्न महाभारत के पात्र पांडव <span class="text_exposed_show">और
कुरु से उत्पन्न कौरव और मनु से उत्पन्न मानव. वास्तव में इन शब्दों की
व्युत्पत्ति मूल शब्द में अण् प्रत्यय लगाने से हुई है. इस प्रकार शांकव =
शंकु + अण्. </span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_bWR-N0rEPPfpkGq-Flcb0DAgyhAc7HDHHDcbK6BpdC7SwZW3_BoqNg7qKTpcVTz_dv25YWCkCp3463-tsIHeSgGUyQt6TlE8oMb1h4GWG1WYwmGhSjhrM5SqdZP0u8tfM32i4ODDpvrH/s1600/conics.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="339" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_bWR-N0rEPPfpkGq-Flcb0DAgyhAc7HDHHDcbK6BpdC7SwZW3_BoqNg7qKTpcVTz_dv25YWCkCp3463-tsIHeSgGUyQt6TlE8oMb1h4GWG1WYwmGhSjhrM5SqdZP0u8tfM32i4ODDpvrH/s640/conics.JPG" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">समतल द्वारा शंकु को प्रतिच्छेद करने पर प्राप्त वक्र</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span class="text_exposed_show"><br /> इसी प्रकार ठोस ज्यामिति (solid geometry) में हम परवलयज
(paraboloid), दीर्घवृत्तज (ellipsoid) और अतिपरवलयज (hyperboloid) का
अध्ययन करते हैं. इन्हें शांकवज (conicoid) कहा जाता है, जिसे शांकव में ज
प्रत्यय लगाने से प्राप्त होता, जिसका अर्थ होता है - (से) उत्पन्न या (से)
जन्मा. इस प्रकार शांकवज का अर्थ हुआ शांकव से उत्पन्न, ठीक वैसे ही जैसे
जल से उत्पन्न जलज या पंक (कीचड़) से उत्पन्न पंकज. वास्तव में शांकव को
x-अक्ष के प्रति घूर्णन करने पर शांकवज की उत्पत्ति होती है. यदि हम परवलय
को x-अक्ष के प्रति घूर्णन कराएँ, तो हमें परवलयज प्राप्त होगा. इसी प्रकार
हम दीर्घवृत्तज और अतिपरवलयज प्राप्त कर सकते है.<br /> यह वीडियो भी देखें : <a href="https://www.youtube.com/watch?v=BnWEI5o35G8" rel="nofollow" target="_blank">https://www.youtube.com/watch?v=BnWEI5o35G8</a></span></div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-15908414414495435512015-07-06T19:58:00.000+05:302015-07-19T10:19:58.015+05:30गणितीय शब्दावलियों की व्याख्या-1<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
आइए, गणित में प्रायः प्रयुक्त होने वाली कुछ शब्दावलियों की व्याख्या करें !</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
धनात्मक पूर्णांकों से हम सभी परिचित हैं. इन पूर्णांकों का समुच्चय {1,
2, 3,...} है. इसी प्रकार ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय {..., --3, -2,
-1} है और पूर्णांकों का समुच्चय {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} है.
कभी - कभी हम यह कहते है कि अमुक कथन शून्येतर पूर्णांकों के लिए सत्य है.
इसका अर्थ है कि यह कथन शून्य को छोड़कर अन्य सभी पूर्णांकों के लिए सत्य
है. ध्यान दें कि शून्येतर = शून्य + इतर. इतर का अर्थ<span class="text_exposed_show">
होता है - (से) भिन्न और इस प्रकार शून्येतर का अर्थ हुआ- शून्य से भिन्न
पूर्णांक संख्याएँ यानि धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएँ. इसी प्रकार
ॠणेतर पूर्णांक का अर्थ होता है - जो पूर्णांक संख्या ऋण नहीं है, अर्थात
शून्य और धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ, धनेतर पूर्णांक संख्याओं का अर्थ भी
इसी प्रकार परिभाषित है - शून्य और ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएँ. आप देख सकते
हैं कि गणितीय शब्दावलियों का निर्माण कुछ प्रत्ययों की सहायता से कितनी
सुगमता से किया जा सकता है. किसी भी भाषा की शब्दावलियों को समझने के लिए
उस भाषा के व्याकरण का ज्ञान आवश्यक है. इन उदाहरणों की सहायता से आप समझ
गए होंगे कि गणित में दुरूह दिखने वाले हिंदी पारिभाषिक शब्द वास्तव में
कितने आसान और अर्थपूर्ण है....आवश्यकता है तो व्याकरण के नियमों को जानने
की.<br /> अगले पोस्ट में कुछ और शब्दावलियों की व्याख्या की जाएगी.</span></div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com2India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-17842275606071293912015-07-03T00:16:00.000+05:302017-06-28T20:13:56.688+05:30त्रिघातीय समीकरण (Cubic Equation)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: center;">
<i>प्रस्तुत लेख में हम त्रिघातीय समीकरण पर विस्तार से चर्चा करेंगे. </i></div>
<h3>
<b>1. परिचय</b> <span style="font-weight: normal;"> </span></h3>
</div>
समीकरण<br />
\begin{equation}\label{cubic}<br />
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,<br />
\end{equation} <br />
<div style="text-align: justify;">
जहाँ $a, b, c, d, e$ सम्मिश्र संख्याएँ (complex numbers) हैं और $a \neq 0$, के रूप के समीकरण को सम्मिश्र त्रिघातीय समीकरण (complex cubic equation) कहते हैं. यदि गुणांक $a, b, c, d, e$ वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हों, तो इसे हम वास्तविक त्रिघातीय समीकरण (real cubic equation) कहते हैं. कुछ त्रिघातीय समीकरण के उदाहरण नीचे दिए गए हैं.<br />
\begin{align}\label{cubic1} <br />
x^3 &=0\\ \label{cubic2}<br />
2x^3 + 3x^2 -1 &= 0\\ <br />
-x^3 + 7x + 2 &= 0\\<br />
x^3 + x^2 + 3x + 11 &= 0.<br />
\end{align}<br />
एक सम्मिश्र संख्या $x = \alpha$ त्रिघातीय समीकरण $(\ref{cubic})$ का हल (solution) या मूल (root) होता है यदि<br />
\[a \alpha^3 + b \alpha^2 + c \alpha + d = 0. \]<br />
<a name='more'></a><br />
उदाहरण के लिए, समीकरण $(\ref{cubic1})$ और $(\ref{cubic2})$ के एक - एक हल क्रमशः $0$ और $-1$ हैं. हम जानते हैं कि द्विघातीय समीकरण के मूल सदैव वास्तविक नहीं होते. परन्तु त्रिघातीय समीकरणों के साथ ऐसी बात नहीं है. किसी भी त्रिघातीय समीकरण का सदैव एक वास्तविक मूल (real root) होता है. क्या आप इसका कारण बता सकते हैं ? ध्यान दीजिये कि किसी भी त्रिघातीय समीकरण के तीन मूल होते हैं. यदि कोई मूल अवास्तविक (अर्थात वैसी सम्मिश्र संख्या जो वास्तविक संख्या नहीं है) हों, इस मूल का संयुग्मी (conjugate) भी एक मूल होगा. इसे हम आगे स्पष्ट करेंगे. अतः सम्मिश्र मूल सम संख्या में होंगे. क्योंकि त्रिघातीय समीकरण के मूलों की संख्या विषम है, अतः एक मूल अवश्य ही वास्तविक संख्या होगी. आइये अब हम दिखाएँगे कि यदि त्रिघातीय समीकरण $(\ref{cubic})$ का एक अवास्तविक मूल (nonreal root) $\alpha$ हों, तो $\bar\alpha$ भी इस समीकरण का एक मूल होगा. क्योंकि $\alpha$ समीकरण $(\ref{cubic})$ का एक मूल है, इसलिए<br />
\[a \alpha^3 + b \alpha^2 + c \alpha + d = 0.\]<br />
दोनों ओर संयुग्मी लेने पर हमें प्राप्त होता है:<br />
\[\overline{a \alpha^3 + b \alpha^2 + c \alpha + d} = \bar{0}.\]<br />
संयुग्मी संक्रिया के गुणधर्मों का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:<br />
\[a \bar\alpha^3 + b \bar\alpha^2 + c \bar\alpha + d = 0.\]<br />
इस प्रकार $\bar\alpha$ भी समीकरण $(\ref{cubic})$ को संतुष्ट करता है. अतः $\bar\alpha$ भी त्रिघातीय समीकरण $(\ref{cubic})$ का मूल है.<br />
<br />
द्विघातीय समीकरण (quadratic equation) की तरह त्रिघातीय समीकरण का भी मूल ज्ञात करने के लिए स्पष्ट सूत्र हैं, परन्तु यह सूत्र जटिल है और हमें त्रिघातीय समीकरण का मूल ज्ञात करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं के वर्गमूल (square root), घनमूल (cube root) इत्यादि निकालने की आवश्यकता पड़ती है. इस सूत्र को व्युत्पन्न करने से पहले हम त्रिघातीय समीकरण और इसके मूलों के सूत्र खोजने से संबंधित इतिहास पर संक्षिप्त चर्चा करेंगे.<br />
<br />
<h3>
<b>2. त्रिघातीय समीकरण का इतिहास</b></h3>
<br />
त्रिघातीय समीकरण के बारे में प्राचीन बेबीलोनियों, ग्रीस-वासियों, मिस्र-वासियों, चीनियों और भारतीयों को कुछ - कुछ जानकारी थी. परन्तु त्रिघातीय समीकरण का व्यापक हल उन्हें ज्ञात नहीं था. त्रिघातीय समीकरण के व्यापक हल का श्रेय जेरोलामो कार्दानो ( <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano" target="_blank" title="Gerolamo Cardano">Gerolamo Cardano</a>) को जाता है. परन्तु कार्दानो इस हल के वास्तविक खोजकर्ता नहीं थे. इससे संबंधित एक रोचक कहानी है. 16वीं शताब्दी के प्रारंभ में इटली के गणितज्ञ सिपियन देल फेरो (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro" target="_blank" title="Scipione del Ferro">Scipione del Ferro</a>) (1465-1526) ने $x^3 + mx = n$, जहाँ $m$ और $n$ धनात्मक पूर्णांक (positive integers) हैं, के प्रकार के त्रिघातीय समीकरणों को हल करने की विधि की खोज की थी. उन्हें उस समय ऋणात्मक संख्याओं (negative numbers) के विषय में जानकारी नहीं थी. उल्लेखनीय है कि यदि हम उपरोक्त व्यंजक में $m$ और $n$ को शून्य और ऋणात्मक मान भी स्वीकार करें, तो व्यंजक $(\ref{cubic})$ के प्रकार के किसी भी त्रिघातीय समीकरण को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है. इसे हम आगे स्पष्ट करेंगे. देल फेरो अपने इस खोज को गुप्त रखा और अपनी मृत्यु से ठीक पूर्व अपने छात्र अंतोनियो फियोर (<a class="new" href="https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Antonio_Fiore&action=edit&redlink=1" target="_blank" title="Antonio Fiore (page does not exist)">Antonio Fiore</a>) को इसकी जानकारी दी.<br />
<br />
1530 में निकोलो तार्ताग्लिया <a class="mw-redirect" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Tartaglia" target="_blank" title="Niccolò Tartaglia">(Niccolò Tartaglia)</a> (1500–1557) ने जुआन द कोइ (Zuanne da Coi) से त्रिघातीय समीकरण के दो प्रश्न प्राप्त किये और उन्होंने घोषणा की कि वे उन्हें हल कर सकते हैं. फियोर ने उसे तुरंत चुनौती दी, जिसे उन्होनें स्वीकार कर लिया. फलस्वरूप एक प्रतिस्पर्धा का आयोजन किया गया. प्रत्येक प्रतिभागी को कुछ रूपये जमा करने थे हल करने के लिए प्रश्नों की संख्या बतानी थी. तीस दिन के अंदर जो सबसे ज्यादा प्रश्न हल करते, उन्हें पूरा रूपया मिलता. तार्ताग्लिया को $x^3 + mx = n$ के प्रकार के समीकरण मिले, जिनके व्यापक हल की जानकारी उन्हें पहले से ही थी. फियोर को $x^3 + mx^2 = n$ के प्रकार के समीकरण मिले, जो उनके लिए बहुत ही कठिन सिद्ध हुए. अतः तार्ताग्लिया इस चुनौती में जीत गए. <br />
<br />
बाद में, जेरोलामो कार्दानो ने तार्ताग्लिया को त्रिघातीय समीकरण के हल का रहस्य उद्घाटित करने के लिए मनाया. किसी अन्य से इस रहस्य को प्रकट न करने की शर्त पर वह हल करने की विधि बताने के लिए मान गए. कुछ वर्षों के बाद कार्दानो को देल फेरो के कार्य के बारे में पता चला और उन्होंने उपरोक्त शर्त को निभाने की आवश्यकता नहीं समझी. फलतः उन्होंने 1545 में अपनी पुस्तक आर्स मैग्ना (<i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ars_Magna_%28Gerolamo_Cardano%29" target="_blank" title="Ars Magna (Gerolamo Cardano)">Ars Magna</a></i> ) में देल फेरो की विधि प्रकाशित कर दी और तार्ताग्लिया को स्वतंत्र हल के लिए श्रेय प्रदान किया. इसकी जानकारी मिलने पर तार्ताग्लिया ने कार्दानो को पुनः चुनौती दी, जिसे कार्दानो ने अस्वीकार कर दिया. अंतत इस चुनौती को कार्दानों के शिष्य लोडोविको फेरारी (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lodovico_Ferrari" target="_blank" title="Lodovico Ferrari">Lodovico Ferrari</a>) (1522-1565) ने स्वीकार किया, जिसमें फेरारी का प्रदर्शन ज्यादा अच्छा रहा. तार्ताग्लिया को प्रतिष्ठा और ईनाम दोनों से हाथ गंवाना पड़ा.<br />
<br />
कार्दानो ने देखा कि तार्ताग्लिया की विधि में ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल से उलझना पड़ता है. उन्होंने इन सम्मिश्र संख्याओं के परिकलन को भी आर्स मैग्ना में सम्मिलित किया, परन्तु इन्हें वे अच्छी तरह नहीं समझ सके. राफेल बाम्बेली (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli" target="_blank" title="Rafael Bombelli">Rafael Bombelli</a>) ने इस समस्या का गहन अध्ययन किया और इसीलिये प्रायः उनकी चर्चा सम्मिश्र संख्या के खोजकर्ता के रूप में की जाती है.<br />
<br />
फ्रांकोइस भीट (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te" target="_blank" title="François Viète">François Viète</a>) (1540 -1603) ने वास्तविक हल प्राप्त करने के लिए त्रिकोणमितीय विधि की खोज की. इस कार्य को बाद में रेने देकार्ते <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" target="_blank" title="René Descartes">(René Descartes</a>) (1596–1650) ने आगे बढ़ाया.<br />
<br />
<h3>
3. त्रिघातीय समीकरण का हल</h3>
त्रिघातीय समीकरण $(\ref{cubic})$ के मूल निम्नलिखित सूत्र की सहायता से ज्ञात किए जा सकते हैं:<br />
सर्वप्रथम निम्नलिखित सूत्र से $A$ और $B$ ज्ञात कीजिए:</div>
<div style="text-align: justify;">
\begin{equation}\label{value-A}<br />
\boxed{ <br />
A=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}<br />
} <br />
\end{equation}<br />
\begin{equation}\label{value-B}<br />
\boxed{ <br />
B=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}.<br />
} <br />
\end{equation}<br />
अब $\alpha$ और $\beta$ निम्न प्रकार परिभाषित कीजिए:<br />
\begin{equation}\label{value-alpha-beta}<br />
\boxed{ <br />
\alpha =
\left(-\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}\right)^{1/3}
~\text{और}~ \beta = \left(-\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} +
\frac{A^3}{27}}\right)^{1/3}.<br />
} <br />
\end{equation}<br />
ध्यान दीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ के तीन - तीन सम्मिश्र घनमूल होंगे. अब $\alpha$ का कोई एक मान $\alpha_1$ चुनिए और इसके संगत $\beta$ का एक ऐसा मान $\beta_1$ चुनिए, जो प्रतिबंध<br />
\begin{equation}\label{condition}<br />
\boxed{ <br />
\alpha_1\beta_1 = \frac{-A}{3}.<br />
} <br />
\end{equation}<br />
को संतुष्ट करता हो.<br />
अब हम त्रिघातीय समीकरण $(\ref{cubic})$ का मूल निम्नलिखित सूत्र के सहायता से ज्ञात कर सकते हैं:<br />
\begin{equation}\label{solution}<br />
\boxed{<br />
\begin{align*} <br />
x_1 &= \alpha_1 + \beta_1,\\ <br />
x_2 &= \alpha_1\epsilon + \beta_1\epsilon^2,\\<br />
x_3 &= \alpha_1\epsilon^2 + \beta_1\epsilon.<br />
\end{align*}<br />
} <br />
\end{equation}<br />
यहाँ $\epsilon = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ वास्तविक संख्या $1$ का सम्मिश्र घनमूल (complex cube root) है.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>उदाहरण:</b> <i>त्रिघातीय समीकरण $x^3 + 3x^2 - 3x - 14 = 0$ को हल करें.</i></div>
<div style="text-align: justify;">
हल: यहाँ $a = 1, b=3, c = -3, d = -14$. इसीलिए सूत्र $(\ref{value-A})$, $(\ref{value-B})$ और $(\ref{value-alpha-beta})$ से हमें प्राप्त होता है:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[A = -6, B = -9,\]</div>
<div style="text-align: justify;">
और</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\alpha= 8^{1/3}= 2, 2\epsilon, 2\epsilon^2; \beta = 1^{1/3} = 1, \epsilon, \epsilon^2.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
इसलिए प्रतिबन्ध $\ref{condition}$ के अनुसार हमें $\alpha_1 = 2$ और $\beta_1 = 1$ चुनना होगा. इसलिए<br />
<br />
\begin{align*}<br />
<br />
<br />
x_1 &= \alpha_1 + \beta_1 = 2 + 1 = 3,\\ <br />
<br />
<br />
x_2 &= \alpha_1\epsilon + \beta_1\epsilon^2 = 2 (\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}) + 1 (\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})^2 = (\frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}) ,\\<br />
<br />
<br />
x_3 &= \alpha_1\epsilon^2 + \beta_1\epsilon = 2 (\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})^2 + 1 (\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}) = (\frac{-3 - i\sqrt{3}}{2}).<br />
<br />
\end{align*}<br />
<br />
<h3>
4. कार्दानो के सूत्र की व्युत्पत्ति </h3>
अब हम कार्दानो के सूत्र को व्युत्पन्न करेंगे.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="background-color: darkseagreen;">
<div class="sh-section-btn">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">कार्दानो के सूत्र की व्युत्पत्ति (देखने के लिए यहाँ क्लिक करें) </span></span></div>
<div class="h-section-cont shw-box">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">यहाँ हम त्रिघातीय समीकरण $(\ref{cubic})$ के मूलों को ज्ञात करने के लिए कार्दानो के सूत्र को व्युत्पन्न करेंगे. </span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">समीकरण $(\ref{cubic})$ में $x = y - \frac{b}{3a}$ प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:</span></span><br />
\begin{equation}\label{trans-cubic1}<br />
y^3 + Ay + B = 0,<br />
\end{equation}<br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">जहाँ </span></span><br />
\begin{equation}\label{a-value}<br />
A=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}<br />
\end{equation}<br />
और <br />
\begin{equation}\label{b-value}<br />
B=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}.<br />
\end{equation}<br />
पुनः समीकरण $(\ref{trans-cubic1})$ में $y = \alpha + \beta$ प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:<br />
\begin{equation}\label{trans-cubic2}<br />
(\alpha + \beta)^3 + A(\alpha + \beta) + B = 0.<br />
\end{equation}<br />
अर्थात<br />
\begin{equation}\label{trans-cubic3}<br />
\alpha^3 + \beta^3 + (3\alpha\beta + A)(\alpha + \beta) + B = 0. <br />
\end{equation}<br />
अब हम $\alpha$ और $\beta$ पर एक प्रतिबंध लगाएँगे जिससे कि $3\alpha\beta + A = 0$, अर्थात<br />
\begin{equation}\label{cond}<br />
\alpha\beta = \frac{-A}{3}.<br />
\end{equation} <br />
इसलिए समीकरण $(\ref{trans-cubic3})$ से हमें प्राप्त होता है:<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^3 + \beta^3 = -B,<br />
\end{equation}<br />
और प्रतिबंध $(\ref{cond})$ से हमें प्राप्त होता है:<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^3\beta^3 = -\frac{A^3}{27}.<br />
\end{equation}<br />
अतः $\alpha^3$ और $\beta^3$ द्विघातीय समीकरण<br />
\begin{equation}<br />
z^2 + Bz - \frac{A^3}{27}<br />
\end{equation}<br />
के मूल हैं.<br />
इस समीकरण को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:<br />
\[z = -\frac{B}{2} \pm \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}.\]<br />
इसलिए हम लिख सकते हैं कि<br />
\[\alpha^3 = -\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}} ~\text{और}~ \beta^3 = -\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}.\]<br />
अतः<br />
\begin{equation}\label{alpha-beta}<br />
\alpha = \left(-\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}\right)^{1/3} ~\text{और}~ \beta = \left(-\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}\right)^{1/3}.<br />
\end{equation}<br />
क्योंकि किसी सम्मिश्र संख्या के तीन घनमूल होते हैं, अतः हमें उपरोक्त समीकरण से $\alpha$ और $\beta$ के तीन - तीन घनमूल प्राप्त होंगे. मान लीजिए कि $\alpha$ का एक मान $\alpha_1$ है. तब अन्य दो मान $\alpha_2 = \alpha_1\epsilon$ और $\alpha_3 = \alpha_1\epsilon^2$ होंगे. इसी प्रकार $\beta$ के तीन मान होंगे. हमें $\alpha_1$ के संगत $\beta$ का एक ऐसा मान $\beta_1$ चुनना होगा जो प्रतिबंध $(\ref{cond})$ को संतुष्ट करता हो, अर्थात $\alpha_1\beta_1 = - \frac{A}{3}$. एक बार हम $\beta_1$ का चयन कर लें, तो $\beta$ के अन्य दो मान $\beta_2 = \beta_1\epsilon$ और $\beta_3 = \beta_1\epsilon^2$ प्राप्त किये जा सकते हैं. ध्यान दीजिये कि $\alpha_2$ के संगत $\beta$ का मान $\beta_3$ होना चाहिए, क्योंकि<br />
\[\alpha_2\beta_3 = \alpha_1\epsilon\beta_1\epsilon^2 = \alpha_1\beta_1\epsilon^3 = \alpha_1\beta_1 = - \frac{A}{3}.\]<br />
इसी प्रकार $\alpha_3$ के संगत $\beta$ का मान $\beta_2$ होना चाहिए. हम $\alpha_1$ और $\beta_1$ के मान को निम्न व्यंजक से व्यक्त करेंगे:<br />
\begin{equation}\label{alpha1}<br />
\alpha_1 = \sqrt[3]{-\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}}<br />
\end{equation}<br />
\begin{equation}\label{beta1}<br />
\beta_1 = \sqrt[3]{-\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}}<br />
\end{equation}<br />
इस प्रकार समीकरण $(\ref{trans-cubic1})$ के मूल निम्नलिखित होंगे:<br />
\begin{align}<br />
y_1 &= \alpha_1 + \beta_1 = \sqrt[3]{-\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}}\\ \nonumber<br />
y_2 &= \alpha_2 + \beta_2 = \alpha_1\epsilon + \beta_1\epsilon^2\\ <br />
&= \epsilon \sqrt[3]{-\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}} + \epsilon^2 \sqrt[3]{-\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}}\\ \nonumber<br />
y_3 &= \alpha_3 + \beta_3 = \alpha_1\epsilon^2 + \beta_1\epsilon\\ <br />
&=
\epsilon^2 \sqrt[3]{-\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} +
\frac{A^3}{27}}} + \epsilon \sqrt[3]{-\frac{B}{2} -
\sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}}.<br />
\end{align}<br />
अतः समीकरण $(\ref{cubic})$ के मूल निम्नलिखित होंगे:<br />
\begin{align}<br />
x_1 &= \sqrt[3]{-\frac{B}{2}+ \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}}&+& \sqrt[3]{-\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}} - \frac{b}{3a}\\ <br />
x_2&=\epsilon \sqrt[3]{-\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}}&+&\epsilon^2 \sqrt[3]{-\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}} - \frac{b}{3a}\\ <br />
x_3&=\epsilon^2\sqrt[3]{-\frac{B}{2}+\sqrt{\frac{B^2}{4}+ \frac{A^3}{27}}}&+&\epsilon \sqrt[3]{-\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}}} - \frac{b}{3a}.<br />
\end{align}<br />
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
<br /></div>
</div>
<br />
<h3 style="text-align: left;">
5. वास्तविक त्रिघातीय समीकरण के मूलों की प्रकृति</h3>
<br />
<div style="text-align: justify;">
इस अनुभाग में हम वास्तविक गुणांकों (real coefficients) वाले त्रिघातीय समीकरण $(\ref{cubic})$ के मूलों की प्रकृति (nature of roots) पर विस्तृत चर्चा करेंगे. हम पहले ही सम्मिश्र गुणांकों वाले त्रिघातीय समीकरण के हल पर चर्चा कर चुके हैं. स्पष्टतः वास्तविक त्रिघातीय समीकरण को भी इन सूत्रों की सहायता से हल किया जा सकता है. परन्तु वास्तविक त्रिघातीय समीकरण को हल किये बिना भी इनके मूलों की प्रकृति ज्ञात की जा सकती है. ध्यान दीजिए कि कार्दानो के सूत्र में व्यंजक $\frac{B^2}{4} +
\frac{A^3}{27}$ मूलों की प्रकृति निर्धारित करने में महत्त्वपूर्ण भूमिका निभाता है. यह व्यंजक वर्गमूल - चिह्न के अंदर है. इस व्यंजक के चिह्नों को देखकर ही मूलों की प्रकृति निर्धारित की जा सकती है. इसके लिए हम </div>
\begin{equation}\label{disc}<br />
D = -(4A^3 + 27B^2) = -108\left(\frac{B^2}{4} + \frac{A^3}{27}\right)<br />
\end{equation}<br />
<div style="text-align: justify;">
परिभाषित करते हैं, जहाँ $A$ और $B$ क्रमशः व्यंजकों $(\ref{value-A})$ और $(\ref{value-B})$ द्वारा परिभाषित है. इसे त्रिघातीय समीकरण $(\ref{cubic})$ का विवेचक (discriminant) कहते हैं. हम निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करते हैं:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>स्थिति - 1 $(D < 0)$.</b> इस स्थिति में व्यंजक $(\ref{value-alpha-beta})$ में वर्गमूल - चिह्न के अंदर धनात्मक संख्या होगी. अतः इस व्यंजक में प्रत्येक घनमूल - चिह्न के अंदर वास्तविक संख्याएँ होंगी. हम जानते हैं कि किसी वास्तविक संख्या के तीन घनमूल होते हैं, जिनमें एक घनमूल वास्तविक होता है और शेष दो घनमूल सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं. मान लीजिए कि $\alpha$ का वास्तविक मान $\alpha_1$ है. तब प्रतिबंध $(\ref{condition})$ के अनुसार, $\alpha_1$ के संगत $\beta$ का मान $\beta_1$ भी वास्तविक होगा, क्योंकि $A$ एक वास्तविक संख्या है. इस प्रकार समीकरण $(\ref{cubic})$ का प्रथम मूल $x_1 = \alpha_1 + \beta_1$ वास्तविक होगा. अब सूत्र $(\ref{solution})$ के अनुसार,</div>
\begin{align*}<br />
x_2 = \alpha_1\epsilon + \beta_1\epsilon^2 &= \alpha_1(\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}) + \beta_1(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2})\\<br />
&= - (\frac{\alpha_1 + \beta_1}{2}) + i\sqrt{3}(\frac{\alpha_1 - \beta_1}{2}),<br />
\end{align*}<br />
और<br />
\begin{align*}<br />
x_3 = \alpha_1\epsilon^2 + \beta_1\epsilon &= \alpha_1(\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}) + \beta_1(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2})\\<br />
&= - (\frac{\alpha_1 + \beta_1}{2}) - i\sqrt{3}(\frac{\alpha_1 - \beta_1}{2}).<br />
\end{align*}<br />
<div style="text-align: justify;">
चूँकि $\alpha_1 \neq \beta_1$, इसलिए $x_2$ और $x_3$ के सामिश्र भाग शून्येतर हैं. इस प्रकार $x_2$ और $x_3$ सम्मिश्र संयुग्मी हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार, यदि $D < 0$, तो समीकरण $(\ref{cubic})$ का एक मूल वास्तविक और दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल होते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>स्थिति - 2 $(D = 0)$.</b> इस स्थिति में </div>
<div style="text-align: justify;">
\[\alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}}, \beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}}.\]</div>
<div style="text-align: justify;">
मान लीजिए कि $\alpha$ का वास्तविक मान $\alpha_1$ है. तब प्रतिबन्ध $(\ref{condition})$ के अनुसार, $\beta_1$ भी वास्तविक होगा. स्पष्टतः $\alpha_1 = \beta_1$. अतः हमें सूत्र $(\ref{solution})$ से </div>
<div style="text-align: justify;">
\[x_1 = 2\alpha_1, x_2 = \alpha_1(\epsilon + \epsilon^2) = -\alpha_1, x_3 = \alpha_1(\epsilon^2 + \epsilon) = -\alpha_1\]</div>
<div style="text-align: justify;">
प्राप्त होता है.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार, यदि $D = 0$, तो सभी मूल वास्तविक होते हैं और उनमें से दो मूल समान होते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>स्थिति - 3 $(D > 0)$.</b> इस स्थिति में व्यंजक $(\ref{value-alpha-beta})$ में वर्गमूल - चिह्न के
अंदर ऋणात्मक संख्या होगी. अतः इस व्यंजक में प्रत्येक घनमूल - चिह्न के
अंदर सम्मिश्र संख्याएँ होंगी. अतः $\alpha$ और $\beta$ के सभी मान सम्मिश्र होंगे. परन्तु हम जानते हैं त्रिघातीय समीकरण का कम - से - कम एक वास्तविक मूल अवश्य होता है. मान लीजिए यह मूल $x_1 = \alpha_0 + \beta_0$ है. प्रतिबंध $(\ref{condition})$ के अनुसार, $\alpha_0\beta_0 = - \frac{A}{3}$ भी वास्तविक है. अतः $\alpha_0$ और $\beta_0$ परस्पर सम्मिश्र संयुग्मी हैं. परन्तु, तब $\alpha_0\epsilon$ और $\beta_0\epsilon^2$ भी परस्पर संयुग्मी हैं. इसी प्रकार, $\alpha_0\epsilon^2$ और $\beta_0\epsilon$ भी परस्पर संयुग्मी हैं. अतः </div>
<div style="text-align: justify;">
\[x_2 = \alpha_0\epsilon + \beta_0\epsilon^2 ~\text{और}~ x_3 = \alpha_0\epsilon^2 + \beta_0\epsilon \]</div>
<div style="text-align: justify;">
वास्तविक संख्याएँ हैं. इस प्रकार सभी मूल वास्तविक हैं. यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि ये सभी मूल भिन्न- भिन्न हैं. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
इस प्रकार, यदि $D > 0$, तो वास्तविक त्रिघातीय समीकरण के तीन भिन्न - भिन्न वास्तविक मूल होते हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<h3>
6. संदर्भ </h3>
<br />
[1] A. Kurosh. Higher Algebra, Translated from the Russian by G. Yankovsky, MIR Publishers, Moscow, 1980. <br />
[2] Wikipedia: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Cardano.27s_method"> Cubic_function — Cardano's method</a><br />
[3] <a href="http://mathworld.wolfram.com/about/author.html">Weisstein, Eric W.</a> "Cubic Formula." From <a href="http://mathworld.wolfram.com/">MathWorld</a>--A Wolfram Web Resource. <a href="http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html">http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html</a> <br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com2India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-85539141955769416732015-06-04T19:32:00.000+05:302016-08-21T14:51:46.184+05:30आव्यूह वियोजन (Matrix Decomposition)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
किसी आव्यूह (Matrix) को कुछ विशेष प्रकार के आव्युहों के गुणनफल के रूप में लिखने की प्रक्रिया आव्यूह वियोजन (Matrix Decomposition) कहलाती है. आव्यूह वियोजन के द्वारा किसी आव्यूह के गुणधर्मों और उससे संबंधित समस्याओं का अध्ययन आसान हो जाता है, क्योंकि इस प्रक्रिया के द्वारा किसी आव्यूह को ज्ञात गुणधर्मों वाले आव्यूहों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है.. अतः आव्यूह - सिद्धांत (Matrix Theory) में और अनुप्रयुक्त गणित में इस प्रक्रिया का विशेष महत्त्व है. यहाँ पर हम कुछ विशेष प्रकार के आव्यूह वियोजन, जैसे - शुर वियोजन (Schur Decomposition), स्पेक्ट्रमी वियोजन (Spectral Decomposition), विचित्र मान वियोजन (Singular Value Decomposition) और ध्रुवीय वियोजन (Polar Decomposition) पर विस्तृत चर्चा करेंगे.<br />
<a name='more'></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<b>1. शुर वियोजन</b><br />
<b> </b><br />
<div style="text-align: justify;">
शुर वियोजन के द्वारा किसी वर्ग आव्यूह (square matrix) को ऐकिक आव्युहों (unitary matrices) और ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह (upper triangular matrix) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है. इस तथ्य को निम्नलिखित प्रमेय में सिद्ध किया जाएगा.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>प्रमेय (शुर वियोजन).</b> <i>मान लीजिए कि $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ आव्यूह $A \in \mathbb{M}_n$ के आइगेन मान हैं. तब एक ऐसे ऐकिक आव्यूह $U \in M_n$ का अस्तित्वे होता है जिससे कि $U^*AU$ एक ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह होता है. अर्थात</i></div>
\[U^*AU =\begin{pmatrix}<br />
\lambda_1 & & & * \\<br />
& \lambda_2 & &\\<br />
& &\ddots &\\<br />
0 & & &\lambda_n <br />
\end{pmatrix}. \]<br />
<i>इस प्रकार</i><br />
\[A =U\begin{pmatrix}<br />
\lambda_1 & & & * \\<br />
& \lambda_2 & &\\<br />
& &\ddots &\\<br />
0 & & &\lambda_n <br />
\end{pmatrix}U^*. \]<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<i> </i></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="background-color: darkseagreen;">
<div class="sh-section-btn">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">उपपत्ति: </span></span></div>
<div class="h-section-cont shw-box">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">हम इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/2014/08/blog-post_26.html" target="_blank">गणितीय आगमन सिद्धांत</a> प्रयुक्त करेंगे. यदि $n = 1$, तो कथन स्पष्टतः सत्य है. मान लीजिए कि यह कथन $n$ से कम आमाप वाले सभी आव्यूहों के लिए सत्य है. अब मान लीजिए आइगेमान $\lambda_1$ के संगत एकक आइगेन सदिश $x_1$ है.तब</span></span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">\[Ax_1 = \lambda_1x_1, ~ x_1 \neq 0.\]</span></span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">हम $x_1$ को ऐकिक आव्यूह $S = (x_1, y_2, \ldots, y_n)$ में विस्तृत कर सकते हैं. तब</span></span><br />
<br />
<br />
\begin{align}<br />
<br />
AS &= (Ax_1, Ay_2, \ldots, Ay_n)\\<br />
<br />
&= (\lambda_1x_1, Ay_2, \ldots, Ay_n)\\<br />
<br />
&= S(u, S^{-1}Ay_2, \ldots, S^{-1}Ay_n), <br />
<br />
\end{align}<br />
जहाँ $u = (\lambda_1, 0, \ldots, 0)^{T}$. अतः हम<br />
\[S^*AS = \begin{pmatrix}<br />
\lambda_1 & \nu\\<br />
0 & B <br />
\end{pmatrix}\]<br />
लिख सकते हैं, <span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">जहाँ $\nu$ एक पंक्ति आव्यूह है और $B \in M_{n-1}$. अब आव्यूह $B$ पर आगमन परिकल्पना का प्रयोग करने पर हमें एक ऐकिक आव्यूह $T \in M_{n-1}$ प्राप्त है जिससे कि $T^*BT$ ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह होता है. मान लीजिए कि </span></span><br />
<br />
<br />
\[U = S\begin{pmatrix}<br />
<br />
1 & 0\\<br />
<br />
0 & T<br />
<br />
\end{pmatrix} <br />
<br />
.\]<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">तब $U$ एक ऐकिक आव्यूह है, क्योंकि यह दो ऐकिक आव्युहों का गुणनफल है और $U^*AU$ ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह है. यह स्पष्ट है कि इस ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह के विकर्ण अवयव $\lambda_i$ आव्यूह $A$ के आइगेनमान हैं. यदि इस आव्यूह को हम</span></span><br />
<br />
<br />
\[\begin{pmatrix}<br />
<br />
\lambda_1 & & & * \\<br />
<br />
& \lambda_2 & &\\<br />
<br />
& &\ddots &\\<br />
<br />
0 & & &\lambda_n <br />
<br />
\end{pmatrix} \]<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"> </span></span><br />
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"> से निरूपित करें, तो हमें</span></span><br />
\[U^*AU =\begin{pmatrix}<br />
\lambda_1 & & & * \\<br />
& \lambda_2 & &\\<br />
& &\ddots &\\<br />
0 & & &\lambda_n <br />
\end{pmatrix} \]<br />
और<br />
\[A =U\begin{pmatrix}<br />
\lambda_1 & & & * \\<br />
& \lambda_2 & &\\<br />
& &\ddots &\\<br />
0 & & &\lambda_n <br />
\end{pmatrix}U^* \]<br />
प्राप्त होता है.<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"> इस प्रकार हमारी उपपत्ति पूर्ण होती है.<br />
</span></span></div>
</div>
<br /></div>
<b>2. स्पेक्ट्रमी वियोजन</b><br />
<br />
इस वियोजन के द्वारा प्रसामान्य आव्यूह (normal matrix) को ऐकिक आव्यूहों और विकर्ण आव्यूह (diagonal matrix) के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है. इस तथ्य को निम्नलिखित प्रमेय में सिद्ध किया गया है.<br />
<br />
<b>प्रमेय (स्पेक्ट्रमी वियोजन).</b> <i>मान लीजिए कि $A$ आमाप $n$ का एक सम्मिश्र वर्ग आव्यूह (complex square matrix) है, जिसके आइगेनमान $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ हैं. तब $A$ प्रसामान्य आव्यूह होता है यदि और केवल यदि $A$ ऐकिकतः विकर्णनीय (unitarili diagonalizable) हो, अर्थात एक ऐकिक आव्यूह $U$ का अस्तित्व हो जिससे कि</i><br />
<i>\[U^*AU = diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n).\]</i><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div style="background-color: darkseagreen;">
<div class="sh-section-btn">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">उपपत्ति: </span></span></div>
<div class="h-section-cont shw-box">
सर्वप्रथम मान लीजिए कि $A$ एक प्रसामान्य आव्यूह है. शुर वियोजन से एक ऐकिक आव्यूह $U$ और एक ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह $D$ का अस्तित्व होता है, जिससे कि<br />
\[U^*AU = D.\]<br />
अब $A$ के प्रसामान्यता से हम लिख सकते हैं: <br />
\[D^*D = (U^*A^*U)(U^*AU) = U^*A^*AU = U^*AA^*U = (U^*AU)(U^*A^*U) = DD^*.\]<br />
इसलिए $D$ वास्तव में एक विकर्ण आव्यूह हैं (क्यों ? सिद्ध कीजिए कि यदि $T$ एक ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह हो और $T^*T = TT^*$, तो यह एक विकर्ण आव्यूह होता है.), जिसके विकर्ण अवयव स्पष्टतः $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ हैं. इस प्रकार<br />
\[U^*AU = diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n).\]<br />
विलोमतः मान लीजिए कि $A$ ऐकिकतः विकर्णनीय है, अर्थात<br />
\[U^*AU =D,\]<br />
जहाँ $U$ ऐकिक आव्यूह है और $D$ विकर्ण आव्यूह है. तब $A = UDU^*$ और इसीलिए $D$ की विकर्णनीयता का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:<br />
\[A^*A = (UD^*U^*)(UDU^*) = UD^*DU^* = UDD^*U^* = (UDU^*)(UD^*U^*) = AA^* .\]<br />
अतः $A$ एक प्रसामान्य आव्यूह है.<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"> इस प्रकार हमारी उपपत्ति पूर्ण होती है.<br />
</span></span></div>
</div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
किसी आव्यूह $A$ को धनात्मक निश्चित (ध.नि.) आव्यूह (positive definite matrix) कहते हैं, यदि सभी $x \in \mathbb{C}^n$ के लिए प्रतिबंध $x^*Ax > 0$ संतुष्ट होता हो. किसी आव्यूह $A$ को अऋणात्मक निश्चित (positive semidefinite) कहते हैं, यदि सभी $x \in \mathbb{C}^n$ के लिए प्रतिबंध $x^*Ax \geq 0$ संतुष्ट होता हो. इसी प्रकार ऋणात्मक निश्चित आव्यूह (negative definite matrix) और अधनात्मक निश्चित आव्यूह (negative semidefinite matrix) को परिभाषित किया जा सकता है.<br />
<br />
मान लीजिए कि $A$ एक अऋणात्मक निश्चित आव्यूह है. मान लीजिए कि $\lambda$ इसका कोई आइगेनमान है और $x$ संगत आइगेनसदिश है. तब<br />
\[x^*Ax = \lambda x^*x = \lambda |x|^2.\]<br />
इसलिए $\lambda |x|^2 \geq 0$. अतः $\lambda \geq 0$, क्योंकि $x$ शून्येतर सदिश है. इस प्रकार किसी अऋणात्मक निश्चित आव्यूह के सभी आइगेनमान ॠणेतर होते हैं.<br />
<br />
<b>3. विचित्र मान वियोजन</b><br />
<br />
यदि $A$ कोई आव्यूह हो, तो $A^*A$ अऋणात्मक निश्चित आव्यूह होता है, क्योंकि $x^*(A^*A)x = (Ax)^*(Ax) \geq 0$. इस प्रकार आव्यूह $A^*A$ के आइगेनमान ॠणेतर होंगे. किसी आव्यूह $A$ के विचित्र मान (singular values) आव्यूह $A^*A$ के आइगेनमान के ॠणेतर वर्गमूल होते हैं. यदि हम विचित्र मान को $\sigma_i$ से निरूपित करें और $\lambda_i$ एक आइगेनमान हो, तो<br />
\[\sigma_i(A) = \sqrt{\lambda_i(A^*A)}.\]<br />
अब हम एक महत्त्वपूर्ण आव्यूह वियोजन - विचित्र मान वियोजन को निम्नलिखित प्रमेय में व्यक्त करते हैं.<br />
<br />
<b>प्रमेय (विचित्र मान वियोजन).</b> <i>मान लीजिए $A$ एक $m \times n$ आव्यूह है जिसके विचित्र मान $\sigma_1, \ldots, \sigma_r$ हैं. तब एक $m \times m$ ऐकिक आव्यूह $U$ और एक $n \times n$ आव्यूह $V$ का अस्तित्व होता है जिससे कि</i><br />
\[A = U\begin{pmatrix}<br />
D_r & 0\\<br />
0 & 0<br />
\end{pmatrix} V,<br />
\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<i>होता है, जहाँ खंड आव्यूह (block matrix) का आमाप $m \times n$ है और $D_r = diag(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)$ है.</i><br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div style="background-color: darkseagreen;">
<div class="sh-section-btn">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">उपपत्ति: </span></span></div>
<div class="h-section-cont shw-box">
यदि $A$ एक संख्या $c$ हो, तो इसका विचित्र मान इसका निरपेक्ष मान $|c|$ होता है और तब हम $A = |c|e^{i\theta}$ लिख सकते हैं, जहाँ $\theta$ कोई उपयुक्त वास्तविक संख्या है. यदि $A$ कोई शून्येतर पंक्ति सदिश या स्तम्भ सदिश, मान लीजिए $A = (a_1, \ldots, a_n)$ हो, तो इसका विचित्र मान $\sigma$ इस सदिश का मानांक (norm) होता है. मान लीजिए कि $V$ एक ऐकिक आव्यूह है, जिसकी पहली पंक्ति $\frac{1}{\sigma}a_1, \ldots, \frac{1}{\sigma}a_n$ है. तब हम $A = (\sigma, 0, \ldots, 0)V$ लिख सकते हैं.<br />
अतः अब मान लेते हैं कि $m > 1, n > 1$ और $A \neq \mathbf{0}$. मान लीजिए कि $\sigma_1^2$ के संगत मात्रक (unit) सदिश $u_1$ है; अर्थात<br />
\[(A^*A)u_1 = \sigma_1^2u_1, ~ u_1^*u_1 = 1.\]<br />
मान लीजिए कि $v_1 = \frac{1}{\sigma_1}Au_1$. तब $v_1$ एक मात्रक सदिश है और $u_1^*A^*v_1 = \sigma_1$.<br />
मान लीजिए कि $P$ और $Q$ ऐकिक आव्यूह हैं, जिनके पहले सतम्भ क्रमशः $u_1$ और $v_1$ हैं. तब $A^*v_1 = \sigma_1u_1$ और $u_1^*A^* = (Au_1)^* = \sigma_1v_1^*$. इसलिए $P^*A^*Q$ के पहला सतम्भ और पहली पंक्ति क्रमशः $(\sigma_1, 0, \ldots, 0)^T$ और $(\sigma_1, 0, \ldots, 0)$ होंगे. अतः<br />
\[P^*A^*Q = \begin{pmatrix}<br />
\sigma_1 & 0\\<br />
0 & B<br />
\end{pmatrix} ~\text{या} ~ A = Q\begin{pmatrix}<br />
\sigma_1 & 0\\<br />
0 & B<br />
\end{pmatrix}P^*,\]</div>
<div class="h-section-cont shw-box">
जहाँ $B$ एक $(n-1) \times (m-1)$ आव्यूह है. इस प्रक्रिया को बार-बार दुहराने पर हमें अभीष्ट परिणाम प्राप्त होता है. इस प्रकार हमारी उपपत्ति पूर्ण होती है.<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><br />
</span></span></div>
</div>
<br /></div>
<b>4. आव्यूह का वर्गमूल (Square root of a matrix)</b><br />
<br />
वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं के वर्गमूल से हम अच्छी तरह परिचित है. यदि $z$ कोई सम्मिश्र संख्या हो, तो इसका वर्गमूल $z ^{1/2}$ एक सम्मिश्र संख्या $w$ होती है, जिससे कि $w^2 = z$. किसी सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल अद्वितीय नहीं होता है. परन्तु यदि $z$ कोई ॠणेतर वास्तविक संख्या हो, इसका ॠणेतर वर्गमूल सदैव अद्वितीय होता है. अब यदि कोई आव्यूह $A$ दिया हुआ हो, तो इसके वर्गमूल से हमारा क्या तात्पर्य हो सकता है. स्पष्ट है कि हम एक ऐसे आव्यूह $B$ की खोज करना चाहेंगे जिससे कि $B^2 = A$. यह आवश्यक नहीं है कि ऐसे आव्यूह $B$ का अस्तित्व हो ही. आप आसानी से एक ऐसे आव्यूह $A$ का उदाहरण खोज सकते हैं, जिसके वर्गमूल का अस्तित्व नहीं है, अर्थात ऐसे किसी आव्यूह $B$ का अस्तित्व नहीं होगा जिससे कि $B^2 = A$ हो. परन्तु यदि ऐसे आव्यूह $B$ का अस्तित्व हो, तो हम $B$ को $A$ का वर्गमूल कहते हैं और $B = A^{1/2}$ लिखते हैं. आव्यूहों का एक ऐसा वर्ग है, जिनके वर्गमूल का अस्तित्व होता है. निम्नलिखित प्रमेय में हम सिद्ध करेंगे कि यदि $A$ कोई अऋणात्मक निश्चित $n \times n$ वर्ग आव्यूह हो, तो इसके वर्गमूल का अस्तित्व होता है और यह वर्गमूल अद्वितीय होता है. परन्तु सर्वप्रथम हम दिखाएँगे कि अऋणात्मक निश्चित आव्यूह आवश्यक रूप से एक हर्मिटी आव्यूह होता है और क्योंकि प्रत्येक हर्मिटी आव्यूह प्रसामान्य आव्यूह होता है, अतः इसका स्पेक्ट्रमी वियोजन संभव है. मान लीजिए $A$ एक अऋणात्मक निश्चित आव्यूह है. मान लीजिए कि $x$ एक स्तम्भ सदिश है, जिसका $s$-वाँ निर्देशांक $1$, $t$-वाँ निर्देशांक $c \in \mathbb{C}$ और अन्य निर्देशांक शून्य हैं. तब<br />
\[x^*Ax = a_{ss} + a_{tt}|c|^2 + a_{ts}\bar{c} + a_{st}c \geq 0.\]<br />
यदि हम $c = 0$ प्रतिस्थापित करें, तो $a_{ss} \geq 0$ प्राप्त होता है. अतः सभी विकर्ण अवयव ॠणेतर हैं. <br />
अब यदि हम $c = 1$ प्रतिस्थापित करें, तो हमें प्राप्त होगा:<br />
\[a_{ss} + a_{tt} + a_{ts} + a_{st} \geq 0.\]<br />
क्योंकि उपरोक्त व्यंजक का वाम पक्ष एक वास्तविक संख्या है, अतः यह अपने सम्मिश्र संयुग्मी के बराबर होगा. फलस्वरूप हमें निम्नलिखित संबंध प्राप्त होता है:<br />
\[a_{ss} + a_{tt} + a_{ts} + a_{st} = \overline{a_{ss}} + \overline{a_{tt}} + \overline{a_{ts}} + \overline{a_{st}}.\]<br />
क्योंकि सभी विकर्ण अवयव ॠणेतर हैं, अतः हमें निम्नलिखित संबंध प्राप्त होता है:<br />
\begin{equation} \label{coeff-rel1}<br />
a_{ts} + a_{st} = \overline{a_{ts}} + \overline{a_{st}}.<br />
\end{equation} <br />
इसी प्रकार $c=i$ प्रतिस्थापित करने पर उपरोक्त प्रक्रिया के फलस्वरूप हमें निम्नलिखित संबंध प्राप्त होता है:<br />
\begin{equation} \label{coeff-rel2}<br />
-ia_{ts} + ia_{st} = i\overline{a_{ts}} -i \overline{a_{st}}.<br />
\end{equation} </div>
<div style="text-align: justify;">
समीकरण $(\ref{coeff-rel1})$ को $i$ से गुणा कर समीकरण $(\ref{coeff-rel2})$ में जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:<br />
\[2ia_{st} = 2i\overline{a_{ts}}.\]<br />
अतः $a_{st} = \overline{a_{ts}}$. क्योंकि यह संबंध सभी $s$ और $t$ के लिए सत्य है, अतः $A = A^*$. इस प्रकार प्रत्येक अऋणात्मक निश्चित सम्मिश्र आव्यूह हर्मिटी आव्यूह होता है. अब हम निम्नलिखित प्रमेय की उपपत्ति दे सकते हैं.<br />
<br />
<b>प्रमेय (आव्यूह के वर्गमूल का अस्तित्व और अद्वितीयता).</b> <i>मान लीजिए कि $A$ एक $n \times n$ अऋणात्मक निश्चित वर्ग आव्यूह है. तब एक अद्वितीय अऋणात्मक निश्चित वर्ग आव्यूह $B$ का अस्तित्व होता है जिससे कि $B^2 = A$.</i><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div style="background-color: darkseagreen;">
<div class="sh-section-btn">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">उपपत्ति: </span></span></div>
<div class="h-section-cont shw-box">
मान लीजिए कि $A = U^*diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)U$ आव्यूह $A$ का स्पेक्ट्रमी वियोजन है. मान लीजिए $B = U^*diag(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})U$. तब $B$ एक अऋणात्मक निश्चित आव्यूह है और यह आसानी से देखा जा सकता है कि $B^2 = A$. अब हम इस आव्यूह की अद्वितीयता सिद्ध करेंगे. मान लीजिए $C$ भी एक अऋणात्मक निश्चित वर्ग आव्यूह है और $C^2 = A$. स्पेक्ट्रमी वियोजन के द्वारा हम $C = V^*diag(\mu_1, \ldots, \mu_n)V$ लिख सकते हैं. तब $B^2 = C^2 = A$ से हमें प्राप्त होता है:<br />
\[U^*diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)U = V^*diag(\mu_1^2, \ldots, \mu_n^2)V.\]<br />
अर्थात,<br />
\[Wdiag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = diag(\mu_1^2, \ldots, \mu_n^2)W,\]<br />
जहाँ $W = (w_{ij}) = VU^*$. इससे हमें सभी $i, j$ के लिए $w_{ij}\lambda_j = \mu_i^2w_{ij}$ प्राप्त होता है. इसलिए <br />
\[W diag(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n}) = diag(\mu_1, \ldots, \mu_n)W,\]<br />
जिससे हमें $B = C$ प्राप्त होता है. इस प्रकार हमारी उपपत्ति पूर्ण होती है.<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><br />
</span></span></div>
</div>
<br /></div>
<b>5. ध्रुवीय वियोजन</b><br />
<br />
मान लीजिए $A$ एक $n \times n$ वर्ग आव्यूह है. तब हम जानते हैं कि $A^*A$ अऋणात्मक निश्चित वर्ग आव्यूह होता है. अतः इसका अद्वितीय वर्गमूल $(A^*A)^{1/2}$ होगा, जिसे $|A|$ से निरूपित किया जाता है और इसे आव्यूह $A$ का मापांक (modulus) कहते हैं. ध्यान दें कि $|A|$ भी अऋणात्मक निश्चित आव्यूह होता है. अब हम ध्रुवीय वियोजन से संबंधित निम्नलिखित प्रमेय दे सकते हैं.<br />
<br />
<b>प्रमेय (ध्रुवीय वियोजन).</b> <i>किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए ऐसे ऐकिक आव्यूहों $W$ और $V$ का अस्तित्व होता है, जिससे कि </i><br />
<i>\[A = W|A| = |A^*|V.\]</i><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div style="background-color: darkseagreen;">
<div class="sh-section-btn">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">उपपत्ति: </span></span></div>
<div class="h-section-cont shw-box">
स्पेक्ट्रमी वियोजन के द्वारा हम $A = UDV$ लिख सकते हैं, जहाँ $D$ एक विकर्ण आव्यूह है और $U, V$ ऐकिक आव्यूह हैं. इसलिए $A = UVV^*DV = WP$, जहाँ $W = UV$ ऐकिक आव्यूह है और $P = V^*DV$ अऋणात्मक निश्चित आव्यूह है. क्योंकि $A^*A = PW^*WP = P^2$, हमें आव्यूह $A$ से $P = (A^*A)^{1/2}$ अद्वितीयतः प्राप्त हो जाता है. अतः $A = W|A|$. इसी प्रकार हम $A = |A^*|V$ दिखा सकते हैं.<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"> </span></span>इस प्रकार हमारी उपपत्ति पूर्ण होती है.<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;"><br />
</span></span></div>
</div>
<br />
इन वियोजनों के अतिरिक्त और भी कई आव्यूह वियोजन होते हैं. उनकी चर्चा यहाँ हम नहीं करेंगे.</div>
<br /></div>
<br /></div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-31951769634696162442015-05-10T20:17:00.000+05:302016-05-10T16:54:44.474+05:30गणितज्ञ कैसे बनें ? दूसरी कड़ी : अभाज्य संख्याओं की अनंतता (Infinitude of Prime Numbers)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: center;">
<b><i>"गणितज्ञ कैसे बनें ?" गणितीय आलेखों की एक श्रृंखला है, जिसके अंतर्गत विविध गणितीय विषयों पर ऐसे लेख प्रस्तुत किये जाते हैं, जो पाठकों को ज्ञात गणितीय तथ्यों, परिणामों और सूत्रों को स्वयं खोजने के लिए क्रमबद्ध तरीके से प्रेरित करते हैं और जिनसे उनके अंदर गणितीय शोध की स्वाभाविक प्रवृति जागृत होती है.</i></b></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
एक से बड़ी वैसी प्राकृत संख्या (natural numbers) जिसके गुणनखंड केवल $1$ और वही संख्या हों, अभाज्य संख्या (prime number) कहलाती है. दूसरे शब्दों में अभाज्य संख्याओं को $1$ और उस संख्या के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से विभाजित नहीं किया जा सकता है. उदाहरण के लिए $2, 3, 5, 7, 11, 13$ इत्यादि अभाज्य संख्याएँ हैं. परन्तु $4$ एक अभाज्य संख्या नहीं है, क्योंकि इसे $1$ और $4$ के अतिरिक्त $2$ से भी विभाजित किया जा सकता है. इसी प्रकार $6, 8, 9, 10, 12$ इत्यादि अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं. ये संख्याएँ संयुक्त संख्याएँ है. एक से बड़ी वैसी प्राकृत संख्या, जो अभाज्य नहीं है, संयुक्त संख्या (composite number) कहलाती है. अभाज्य संख्याओं के गुणधर्मों की विस्तृत जानकारी के लिए <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/p/blog-page_19.html" target="_blank">अभाज्य संख्याएँ</a> देखें. <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/2015/03/fundamental-theorem-of-arithmetic.html" target="_blank">अंकगणित के मूलभूत प्रमेय</a> (Fundamental Theorem of Arithmetic) से हम जानते हैं कि एक से बड़ी किसी भी प्राकृत संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीयतः (uniquely) लिखा जा सकता है. अतः अभाज्य संख्याएँ मूलभूत संख्याएँ हैं और इन्हें संख्याओं की निर्माण - इकाई कहना तर्कसंगत होगा.<br />
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं की संख्या अनंत हैं. परिभाषा के अनुसार सभी अभाज्य संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ हैं. अतः यह स्वाभाविक जिज्ञासा होती है कि क्या अभाज्य संख्याओं की संख्याओं भी अनंत है ? प्रस्तुत लेख में हम इसी विषय पर चर्चा करने जा रहे हैं.<br />
<a name='more'></a></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
अब प्रश्न यह है कि हम यह निर्णय कैसे करें कि अभाज्य संख्याओं की संख्या परिमित है या अनंत है ? आप कह सकते हैं कि हम उन्हें गिनकर देख सकते हैं. इसके लिए हमें सभी प्राकृत संख्याओं को बारी-बारी से चुनकर उसकी अभाज्यता की जाँच करनी होगी और उनकी सूचि बनानी होगी. सुनने में यह प्रक्रिया आसान लगती है. परन्तु क्या यह संभव है ? क्योंकि प्राकृत संख्याओं की संख्या अनंत है, अतः यह प्रक्रिया कभी समाप्त नहीं हो सकती और यदि प्रक्रिया समाप्त ही नहीं होगी तो फिर हम अंतिम सूचि तैयार नहीं कर सकते. इस प्रकार इस विधि से कुछ भी निर्णय करना असंभव है. क्या आप कोई अन्य विधि बता सकते हैं ?<br />
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
आइये हम कुछ अप्रत्यक्ष तरीकों की खोज करते हैं. हम एक सामान्य सा प्रश्न करते हैं. यदि अभाज्य संख्याओं की संख्या परिमित हो, तो क्या होगा. यदि वास्तव में अभाज्य संख्याओं की संख्या परिमित हों, तो कोई अस्वाभाविक स्थिति उत्पन्न नहीं होगी और उनकी सूचि हम आसानी से बना पाएँगे. परन्तु यदि उनकी संख्या वास्तव में अनंत हों, तो इनकी संख्या परिमित मान लेने पर हमें असुविधाजनक स्थितियों का सामना करना पर सकता है. इस बात को <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/2015/03/fundamental-theorem-of-arithmetic.html" target="_blank">अंकगणित के मूलभूत प्रमेय</a> को ध्यान में रखकर सोचें. ऊपर हमने अभाज्य संख्याओं के उदाहरण के रूप में $2, 3, 5, 7, 11, 13$ लिखा था. एक क्षण के लिए मान लीजिए कि हमारे पास केवल यही अभाज्य संख्याएँ हैं. यदि केवल और केवल यही अभाज्य संख्याएँ हैं, तो इन अभाज्य संख्याओं की सहायता से हम सभी प्राकृत संख्याओं को लिखने में सक्षम हो पायेंगे. उदाहरण के लिए हम $6 = 2 \cdot 3$ और $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$ लिख सकते हैं. इस प्रकार हमें किसी भी प्राकृत संख्या को $2^a3^b5^c7^d(11)^e(13)^f$ के रूप में लिखने में सक्षम हो पाएँगे. इस प्रकार किसी भी दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं को उपरोक्त व्यंजक के रूप में लिख पाएँगे. परन्तु उपरोक्त व्यंजक को देखने पर हमारा अंतर्ज्ञान कहता है कि ऐसा संभव नहीं हो सकता. क्या आप बता सकते हैं कि उपरोक्त अभाज्य संख्याओं की सहायता से सबसे छोटी संख्या, जिसमें ये सभी अभाज्य मौजूद हों, कौन सी संख्या होगी ? स्पष्ट है कि यह संख्या $m = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ होगी. अब इसकी अगली संख्या लीजिए. यह संख्या $n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1$ है. हम आशा करते हैं कि इन्हें उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखना असंभव होगा. इसे हम उन अभाज्य संख्याओं से विभाजित कर जाँच कर सकते हैं. परन्तु हम एक अप्रत्यक्ष विधि अपनाते हैं. अंकगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार यह संख्या किसी न किसी अभाज्य संख्या से अवश्य ही विभाजित होगी. क्योंकि हमारे पास अभाज्य संख्याएँ केवल $2, 3, 5, 7, 11, 13$ हैं. अतः यह संख्या इन्हीं में से किसी एक अभाज्य संख्या से विभाजित होगी. मान लीजिए यह अभाज्य संख्या $p$ है. क्योंकि $p$ संख्या $m$ के गुणनखंड में भी मौजूद है, अतः यह $m$ और $n$ दोनों को विभाजित करती है. परन्तु तब <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/p/blog-page_51.html" target="_blank">विभाज्यता - सिद्धांत</a> के अनुसार $p$ संख्या $n - m = 1$ को विभाजित करेगी. यह असंभव है, क्योंकि कोई भी अभाज्य संख्या $1$ को विभाजित नहीं कर सकती है. इस प्रकार अन्य अभाज्य संख्याओं का भी अस्तित्व होना चाहिए. अब आप जान गए होंगे कि आप एक व्यापक तर्क कैसे दे सकते हैं.<br />
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
मान लीजिए कि अभाज्य संख्याओं की संख्या परिमित है और ये अभाज्य संख्याएँ $p_1, p_2, \ldots, p_n$ हैं. आप ऊपर दिए गए तर्कों की तरह तर्क देकर यह सिद्ध कर सकते हैं कि अभाज्य संख्याओं की यह सूचि पर्याप्त नहीं है, क्योंकि यह अंकगणित के मूलभूत प्रमेय का विरोध करता है. अतः अभाज्य संख्याओं की सूचि अवश्य ही अनंत होनी चाहिए. इस तथ्य को सर्वप्रथम यूक्लिड (Euclid) ने सिद्ध किया था. हम इस तथ्य को उपपत्ति के साथ नीचे के प्रमेय में प्रस्तुत कर रहे हैं.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>प्रमेय (यूक्लिड).</b> <i>अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है.</i></div>
<div style="text-align: justify;">
<i> </i></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="background-color: darkseagreen;">
<div class="sh-section-btn">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">उपपत्ति: </span></span></div>
<div class="h-section-cont shw-box">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">मान लीजिए कि अभाज्य संख्याओं की संख्या परिमित है. इन अभाज्यों की सूची $p_1, p_2, \ldots , p_n$ बनाईये. अब एक धन पूर्णांक $m = p_1p_2\cdots p_n + 1$ परिभाषित कीजिये. क्योंकि $m > 1$, अंकगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक अभाज्य $p$ धन पूर्णांक $m$ को अवश्य विभाजित करेगा. क्योंकि हमारे पास परिमित संख्या में अभाज्य संख्याएँ हैं, अतः $p$ इन्हीं अभाज्यों में से कोई एक अभाज्य होगा. परन्तु तब $p \mid p_1\cdots p_n$. क्योंकि $p \mid m$, इसलिए अवश्य ही $p \mid (m - p_1\cdots p_n)$, अर्थात $p \mid 1$, जो एक अंतर्विरोध है. अतः अभाज्य संख्याओं की संख्या परिमित नहीं हो सकती. इस प्रकार हमारी उपपत्ति पूर्ण होती है. <br />
</span></span></div>
</div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: purple;">इस आलेख की गुणवत्ता में सुधार हेतु और इसकी उपयोगिता बढ़ाने के लिए आपके सुझाव व टिप्पणियाँ आमंत्रित हैं. कृपया यहाँ टिपण्णी करें या <a href="mailto:ganitanjalii@gmail.com">ganitanjalii@gmail.com</a> पर ई-मेल करें.</span><br />
<br />
<div style="text-align: left;">
<< पहली कड़ी : <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/2015/04/dwipad-pramey.html" target="_blank">द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem)</a> <br />
<div style="text-align: right;">
तीसरी कड़ी : <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/2016/05/ab-ba.html" target="_blank">$ab = ba$ क्यों ?</a> >></div>
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
</div>
Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0India20.593684 78.962880000000041-8.5806465 37.654286000000042 49.7680145 120.27147400000004tag:blogger.com,1999:blog-8865539858646484225.post-75797968034785758272015-04-09T18:30:00.000+05:302015-05-10T20:24:52.217+05:30गणितज्ञ कैसे बनें ? पहली कड़ी : द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: center;">
<b><i>"गणितज्ञ कैसे बनें ?" गणितीय आलेखों की एक श्रृंखला है, जिसके अंतर्गत विविध गणितीय विषयों पर ऐसे लेख प्रस्तुत किये जाते हैं, जो पाठकों को ज्ञात गणितीय तथ्यों, परिणामों और सूत्रों को स्वयं खोजने के लिए क्रमबद्ध तरीके से प्रेरित करते हैं और जिनसे उनके अंदर गणितीय शोध की स्वाभाविक प्रवृति जागृत होती है.</i></b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
यदि कोई वास्तविक संख्या (real number) $a$ दी हुई हों, तो इसके $n$-वें घात $a^n$, जहाँ $n$ एक ॠणेतर (non-negative) संख्या है, का परिकलन आसानी से कर सकते हैं. इसके लिए हम $\underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{बार}}$ का परिकलन करते हैं. उदाहरण के लिए, $5^2 = 5 \times 5 = 25$ और $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$. ध्यान रखें कि किसी शून्येतर (nonzero) वास्तविक संख्या $a$ के लिए $a^0$ का मान $1$ परिभाषित किया जाता है.<br />
<a name='more'></a>अब मान लीजिए हमें $(107)^2$ का परिकलन करना है. इसे हम कई तरीके से कर सकते हैं:<br />
\begin{equation}\label{e1}<br />
(107)^2 = 107 \times 107 = 11449.<br />
\end{equation} <br />
\begin{equation}\label{e2}<br />
(107)^2 = 107 \times 107 = 107 \times (100 + 7) = 107 \times 100 + 107 \times 7 = 10700 + 963 = 11449.<br />
\end{equation} <br />
\begin{align}<br />
(107)^2 = (100 + 7)^2 &= (100 + 7)\times (100 + 7) \notag\\<br />
&= 100 \times 100 + 100 \times 7 + 7 \times 100 + 7 \times 7 \notag\\<br />
&= 10000 + 700 + 700 + 49 = 11449. \label{e3}<br />
\end{align}<br />
पहली विधि $(\ref{e1})$ में हमने सीधे ही $(107)^2$ का परिकलन किया है,जबकि दूसरी विधि $(\ref{e2})$ में हमने दूसरे गुणनखंड $107$ को $100 + 7$ में विखंडित कर बंटन नियम का उपयोग किया है. तीसरी विधि $(\ref{e3})$ में भी हमने बंटन नियम का ही उपयोग किया है, परन्तु यहाँ दोनों ही गुणनखंडों को विखंडित किया है. क्या आप बता सकते हैं कि ऐसा करने से क्या लाभ होता है ? ऐसा करने से हमें छोटी - छोटी संख्याओं को आपस में गुणा करना पड़ा, जो गुणन - प्रक्रिया को आसान बना देता है. जैसे कि $100 \times 100$ का गुणनफल इन्हें देखकर ही लिखा जा सकता है: हम $1$ पर चार शून्य लिखते हैं. विधि $(\ref{e3})$ में हम देख सकते हैं कि हमें बार - बार संख्याओं को गुणा कर फिर उन सबका योगफल निकालना पड़ता है. अतः यह प्रक्रिया भी थोड़ी उबाऊ लगती है. ध्यान दीजिये कि $(\ref{e3})$ में हमने $(107)^2$ को दो संख्याओं के योगफल के वर्ग के रूप में, अर्थात $(100 + 7)^2$ लिखा है. अत्यधिक व्यापक रूप में हम दो संख्याओं $a$ और $b$ के योगफल के वर्ग $(a + b)^2$ पर विचार कर सकते हैं. यदि इस व्यंजक का मान $a$ और $b$ के पदों में लिखा जा सके, तो हमारा परिकलन आसान हो जाएगा. दूसरे शब्दों में हम व्यंजक $(a + b)^2$ के परिकलन के लिए कोई सूत्र खोजना चाहते हैं. क्या आप कोई सूत्र दे सकते हैं ? यहाँ ठहरिये और इसपर विचार कीजिये. शायद आप सफल हो जाएँ ! यदि नहीं तो आगे हम आपका पुनः मार्गदर्शन करते हैं. आप जानते हैं कि<br />
\[(a + b)^2 = (a + b) (a + b).\]<br />
दक्षिण पक्ष को यदि आप प्रसारित करें और सरल करें, तो आपका उत्तर $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ होगा. आप अपने परिकलन के प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप में लिखें और प्रत्येक चरण में यह प्रश्न अवश्य करें ऐसा करना सही है कि नहीं ? उपरोक्त तथ्य को हम निम्नलिखित प्रमेय के रूप में व्यक्त करते हैं. इसकी उपपत्ति से आप अपने परिकलन की जाँच कर यह पता लगा सकते हैं कि आपने सही - सही परिकलन किया है नहीं. आप उपपत्ति तभी देखें (उपपत्ति पर क्लिक करें), जब आप स्वयं प्रयास कर चुके हों. <br />
<br />
<b>प्रमेय 1.</b> \begin{equation}\label{square-formula}(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \end{equation}<br />
<br />
इस प्रमेय की उपपत्ति देने से पहले आइये हम इसका प्रयोग $(107)^2$ ज्ञात करने में करें:<br />
\[(107)^2 = (100 + 7)^2 = (100)^2 + 2\cdot 100 \cdot 7 + 7^2 = 10000 + 1400 + 49 = 11449.\]<br />
इस प्रकार हम देखते हैं कि सूत्र के प्रयोग से हमें सीधे परिकलन में आए कुछ चरणों से छुटकारा मिल जाता है. इस सूत्र का गणित में बहुत ही ज्यादा प्रयोग होता है. कई बार हमें कुछ व्यंजकों को सरल करने में इस सूत्र का प्रयोग करना पड़ता है. अतः इस सूत्र का अनुप्रयोग केवल संख्यात्मक अभिकलन तक ही सीमित नहीं है. आइये हम इस प्रमेय की उपपत्ति दें.<br />
<br />
<div style="background-color: darkseagreen;">
<div class="sh-section-btn">
<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><span style="font-size: 17px;">उपपत्ति: </span></span></div>
<div class="h-section-cont shw-box">
\begin{aligned}<br />
(a+b)^2 &= (a+b)(a+b) && (\text{परिभाषा से})\\<br />
&= a(a+b) + b(a+b) && (\text{बंटन नियम का प्रयोग करने पर})\\<br />
&= (a^2 + ab) + (ba + b^2) && (\text{बंटन नियम का प्रयोग करने पर})\\<br />
&= a^2 + \{ab + (ba + b^2)\} && (\text{साहचर्य नियम का प्रयोग करने पर})\\<br />
&= a^2 + \{(ab + ba) + b^2\} && (\text{साहचर्य नियम का प्रयोग करने पर})\\<br />
&= a^2 + \{(ab + ab) + b^2\} && (\text{क्रमविनिमेय नियम का प्रयोग करने पर})\\<br />
&= a^2 + (2ab + b^2)\\<br />
&= a^2 + 2ab + b^2. && (\text{दो से अधिक संख्याओं के योग की परिभाषा से})<br />
\end{aligned}</div>
</div>
<br />
उपरोक्त उपपत्ति में हमने चरणशः परिकलन किये हैं और प्रत्येक चरण में प्रयुक्त नियमों का भी उल्लेख किया है.<br />
<br />
आइये हम $(107)^3$ के अभिकलन पर चर्चा करें. हम $(107)^3 = (100 + 7)^3$ लिख सकते हैं. इस स्थिति में हमें दो संख्याओं $a$ और $b$ के घन $(a + b)^3$ का सूत्र प्राप्त करना होगा. आप $(a + b)^3$ को $(a + b)(a+b)(a+b)$ लिखकर और सभी व्यंजकों को गुणा कर निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सक्तेव हैं:<br />
\begin{equation}\label{cube-formula}<br />
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.<br />
\end{equation}<br />
इस सूत्र का प्रयोग करके आप आसानी से $(107)^3$ का मान ज्ञात कर सकते हैं:<br />
\begin{aligned} <br />
(107)^3 &= (100 + 7)^3\\<br />
&= (100)^3 + 3\cdot(100)^2\cdot 7 + 3\cdot 100 \cdot 7^2 + 7^3\\<br />
&= 1000000 + 210000 + 14700 + 343\\<br />
&= 1225043.<br />
\end{aligned}<br />
<br />
इसी प्रकार आप $(a + b)^4$ का सूत्र खोज सकते हैं. अधिक व्यापक रूप में आप किसी ॠणेतर $n$ के लिए $(a + b)^n$ का सूत्र निकाल सकते हैं. परन्तु ज्यों - ज्यों $n$ का मान बढ़ता जाता है, यह प्रक्रिया जटिल होती जाती है. अतः हमें $(a+b)^n$ का सूत्र $n$ के पदों में खोजना होगा. इस स्थिति में उपरोक्त विधि काम नहीं करती. हमें कोई अन्य विधि खोजनी होगी. हम ऐसी ही विधि पर विस्तार से चर्चा करेंगे. आप भी एक क्षण रूककर इस विषय पर सोचें. संभवतः आप सूत्र खोजने में सफल हो जाएँ. ध्यान दें कि यहाँ आपके पास सूत्र उपलब्ध नहीं है, जिसे आप प्रमाणित करने कि कोशिश करें.<br />
<br />
यदि आप $(a + b)^2$ के सूत्र $(\ref{square-formula})$ को ध्यान से देखें, तो आपको पता चलेगा कि इस सूत्र के दायें पक्ष का व्यंजक $a$ और $b$ के घातों के गुणनफल का योगफल है. उदाहरण के लिए प्रथम पद $a^2$ में $a$ और $b$ के घात क्रमशः $2$ और $0$ हैं, द्वितीय पद $ab$ में $a$ और $b$ के घात क्रमशः $1$ और $1$ हैं, और तृतीय पद $b^2$ में $a$ और $b$ के घात क्रमशः $2$ और $0$ हैं. आप यह भी देख सकते हैं कि प्रत्येक पद में $a$ और $b$ के घातों का योगफल $2$ हैं. अर्थात सूत्र $(\ref{square-formula})$ का दायाँ पक्ष $a^rb^s$ जैसे पदों का रैखिक संयोजन है, जहाँ $r + s = 2$ और $0 \leq r, s \leq 2$. इसी प्रकार $(a + b)^3$ के सूत्र $(\ref{cube-formula})$ का भी दायाँ पक्ष $a^rb^s$ जैसे पदों का योगफल हैं, जहाँ $r + s = 3$ और $0 \leq r, s \leq 3$. अब क्या आप अनुमान कर सकते हैं कि $(a + b)^n$ के सूत्र में किस प्रकार के पद होंगे ? अवश्य ही ये पद $a^rb^s$ जैसे होंगे, जहाँ $r + s = n$ और $0 \leq r, s \leq n$. क्योंकि $r + s = n$ है, इसलिए $s = n-r$ और तब हम कह सकते हैं कि ये पद $a^rb^{n-r}$ के रूप के होंगे, जहाँ $0 \leq r \leq n$. इस तथ्य को हम इस प्रकार समझ सकते हैं. $(a + b)^n$ को निम्नलिखित रूप में लिखें:<br />
\[\underbrace{(a+b)\cdots (a+b)}_{n \text{बार}}.\]<br />
इन पदों को हम कैसे गुणा करते हैं ? हम प्रत्येक पद में से एक - एक संकेत $a$ या $b$ का चयन करते हैं और उन्हें आपस में गुणा करते हैं. ऐसे प्रत्येक चयन में या तो केवल $a$ होते हैं या केवल $b$ होते हैं या दोनों ही होते हैं, परन्तु उनकी कुल संख्या $n$ होती हैं. अतः यदि किसी चयन में $a$ की संख्या $r$ हों, तो उस चयन में $b$ की संख्या अवश्य ही $n-r$ होनी चाहिए. अतः इस चयन के संगत पद $a^rb^{n-r}$ होगा. परन्तु एक ही प्रकार के पद, मान लीजिए $a^rb^{n-r}$, जहाँ $r$ नियत है, एक या अधिक चयनों से प्राप्त हो सकते हैं. मान लीजिए कुल $c_r$ चयनों से हमें उपरोक्त पद $a^rb^{n-r}$ प्राप्त होता है. तब सूत्र में आने वाले पदों में इस पद की पुनरावृत्ति $c_r$ बार होगी, जिसे योग करने पर हमें पद $c_ra^rb^{n-r}$ प्राप्त होगा. अतः $(a+b)^n$ का सूत्र निम्न प्रकार का होगा:<br />
\begin{equation}\label{e1-dwipad}<br />
(a+b)^n = c_na^n + c_{n-1}a^{n-1}b + c_{n-2}a^{n-2}b^2 + \cdots + c_ra^rb^{n-r} + \cdots + c_2a^2b^{n-2}<br />
+ c_1ab^{n-1} + c_0b^n.<br />
\end{equation}<br />
इस प्रकार हमारा कार्य पद $a^rb^{n-r}$ के गुणांक (coefficient) $c_r$ का मान निकालना शेष रह जाता है. स्पष्ट है कि $c_r$ का मान $n$ और $r$ पर निर्भर करेगा. संचय - सिद्धांत (theory of combination) का प्रयोग करके हम इस गुणांक का मान आसानी से ज्ञात कर सकते हैं. इसे सपष्ट करने के लिए आइए सबसे पहले हम एक विशेष स्थिति सूत्र $(\ref{square-formula})$ को इस विधि से स्थापित करें. संबध $(\ref{e1-dwipad})$ के अनुसार,<br />
\begin{equation}\label{e1-square}<br />
(a+b)^2 = c_2a^2 + c_1ab + c_0b^2. <br />
\end{equation}<br />
आइए हम सर्वप्रथम $a^2$ के गुणांक $c_2$ का मान ज्ञात करें. इसके लिए हम $(a+b)^2$ को निम्न प्रकार लिखते हैं:<br />
\begin{equation}\label{e2-square}<br />
(a+b)^2 = (a+b)(a+b).<br />
\end{equation}<br />
$c_2$ का मान ज्ञात करने के लिए दो $a$ का चयन करना होगा. ऐसा हम कितने तरीके से कर सकते हैं ? ध्यान रखें कि व्यंजक $(\ref{e2-square})$ के दायें पक्ष $(a+b)(a+b)$ में प्रत्येक गुणनखंड से केवल एक संकेत का चयन किया जा सकता है. अतः हम पहले और दूसरे गुणनखंडों में प्रत्येक से एक -एक $a$ का चयन कर सकते हैं, जिससे हमें पद $a^2$ प्राप्त होता है. ऐसा केवल एक ही विधि से किया जा सकता है. अतः $c_2 =1$. इसी प्रकार आप $c_0 = 1$ प्राप्त कर सकते हैं. आइये अब हम $ab$ का गुणांक $c_1$ का मान प्राप्त करें. ध्यान दें कि पद $ab$ दो प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है : हम पहले गुणनखंड $(a+b)$ से $a$ और दुसरे गुणनखंड $(a+b)$ से $b$ का चयन कर $ab$ प्राप्त कर सकते हैं या पहले गुणनखंड $(a+b)$ से $b$ और दुसरे गुणनखंड $(a+b)$ से $a$ का चयन कर $ab$ प्राप्त कर सकते हैं. इस प्रकार $c_1 = 2$. इस प्रकार हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:<br />
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]<br />
आइये हम इन गुणांकों को एक अन्य विधि से प्राप्त करें. $(a+b)^2$ के किसी पद $a^rb^{2-r}$ को हम निम्न प्रकार प्राप्त कर सकते हैं. मान लीजिए हमारे पास दो कोष्ठक हैं और हमारे पास दो प्रकार की वस्तुएँ $a$ और $b$ हैं. प्रत्येक कोष्ठक में हम अधिक से अधिक दो वस्तुएँ रखना चाहते हैं जिससे कि रखे गए कुल वस्तुओं में $r$ वस्तुएँ $a$ हों और $2 -r$ वस्तुएँ $b$ हों. ऐसा हम कितने तरीके से कर सकते हैं ? हम दो कोष्ठकों में से $r$ कोष्ठकों का चयन करके उसमें $a$ रख सकते हैं. ऐसा हम $\binom{2}{r}$ तरीके से कर सकते हैं, जहाँ<br />
\begin{equation}\label{binomial}<br />
\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}.<br />
\end{equation} <br />
ध्यान दें कि एक बार हम $r$ वस्तुएँ $a$ को रखने के लिए $r$ कोष्ठकों का चयन कर लेते हैं, हम शेष $2 - r$वस्तुएँ रखने के लिए $2-r$ वस्तुएँ का चयन केवल $1$ तरीके से कर सकते हैं, क्योंकि हमारे पास शेष केवल $2-r$ कोष्ठक ही हैं. इस प्रकार कुल तरीकों की संख्या $ c_r = \binom{2}{r} \times 1 = \binom{2}{r}$ ही होगी. उदाहरण के लिए $c_2 = \binom{2}{2} = 1$, $c_1 = \binom{2}{1} = 2$ और $c_0 = \binom{2}{0} = 1$. क्या अब आप $(\ref{cube-formula})$ में दिया गया सूत्र व्युत्पन्न कर सकते हैं. प्रयास कीजिये. यदि आप सफल हो गए हों, तो आप $(a+b)^n$ का व्यापक सूत्र व्युत्पन्न करने की कोशिश कर सकते हैं.<br />
<br />
आइये अब हम $(a+b)^n$ का व्यापक सूत्र व्युत्पन्न करने के लिए, संबंध $(\ref{e1-dwipad})$ में गुणांक $c_r$ का सूत्र खोजें, जहाँ $0 \leq r \leq n$. यहाँ $n$ और $r$ को तत्क्षण नियत मान लें. तब यह समस्या निम्नलिखित समस्या के तुल्य है. मान लीजिए हमारे पास $n$ कोष्ठक हैं और हमारे पास दो प्रकार की वस्तुएँ $a$ और $b$ हैं. हम इन कोष्ठकों में से $r$ कोष्ठकों में $a$ को रखना चाहते हैं और शेष कोष्ठकों में से $n-r$ कोष्ठकों में $b$ को रखना चाहते हैं. ऐसा हम कितने तरीके से कर सकते हैं ? तरीकों की कुल संख्या ही $c_r$ का मान होगा, क्योंकि केवल और केवल इन्हीं तरीकों से हमें पद $a^rb^{n-r}$ प्राप्त होता है. स्पष्ट है कि $n$ कोष्ठकों में से $r$ कोष्ठकों का चयन $\binom{n}{r}$ तरीके से कर सकते हैं और इन कोष्ठकों में हम $a$ रख सकते हैं. अब क्योंकि हमारे पास शेष $n-r$ कोष्ठक ही हैं, अतः इन कोष्ठकों में से $n-r$ कोष्ठकों का चयन केवल $1$ ही तरीके से किया जा सकता है, जिनमें हम $b$ को रख सकते हैं. अतः उपरोक्त कार्य सम्पादित करने के कुल तरीकों की संख्या $\binom{n}{r} \times 1 = \binom{n}{r}$ होती है. इस प्रकार हमें $c_r = \binom{n}{r}$ प्राप्त होता है. अतः $(\ref{e1-dwipad})$ से हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:<br />
\begin{multline}\label{e2-dwipad}<br />
(a+b)^n = \binom{n}{n}a^n + \binom{n}{n-1}a^{n-1}b + \binom{n}{n-2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{r}a^rb^{n-r} + \cdots\\<br />
+ \binom{n}{2}a^2b^{n-2}<br />
+ \binom{n}{1}ab^{n-1} + \binom{n}{0}b^n.<br />
\end{multline}संक्षिप्त रूप में उपरोक्त सूत्र को हम निम्नलिखित प्रमेय में व्यक्त करते हैं:<br />
<b>प्रमेय 2 (द्विपद प्रमेय).</b> यदि $a$ और $b$ दो वास्तविक संख्याएँ हों और $n$ एक धनात्मक पूर्णांक हों, तो<br />
\begin{equation}\label{e3-dwipad}<br />
(a+b)^n = \sum_{r =0}^{n}\binom{n}{r}a^rb^{n-r},<br />
\end{equation} <br />
जहाँ $\binom{n}{r}$ व्यंजक $(\ref{binomial})$ द्वारा परिभाषित है.<br />
<br />
उपरोक्त प्रमेय तब भी सही होता है यदि $a$ और $b$ किसी क्रमविनिमेय वलय (commutative ring) के अवयव हों. उदाहरण के लिए उपरोक्त प्रमेय सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) $a$ और $b$ के लिए भी सत्य होता है.<br />
<br />
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दूसरी कड़ी : <a href="http://ganitanjali.blogspot.in/2015/05/infinitude-of-prime-numbers.html" target="_blank">अभाज्य संख्याओं की अनंतता</a> >></div>
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Raj Kumar Mistrihttp://www.blogger.com/profile/09815645852794654478noreply@blogger.com0