गणिताञ्जलि !: गणित में प्रेक्षण उपपत्ति (प्रमाण) क्यों नहीं हो सकती ?

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सोमवार, 3 जुलाई 2017

गणित में प्रेक्षण उपपत्ति (प्रमाण) क्यों नहीं हो सकती ?

गणित में प्रेक्षण के ही आधार पर किसी कथन को सत्य नहीं माना जा सकता है. प्रेक्षण सीमित होता है, अतः यह किसी कथन को सार्वत्रिक रूप से सत्य प्रमाणित करने में सक्षम नहीं भी हो सकता है. इसे हम एक उदाहरण के द्वारा समझाएँगे.

एक बहुपद

$f(n) = n^2 + n + 41$ पर विचार कीजिए. यदि आप

$n$ के

$0$ से लेकर

$39$ तक के मानों के लिए

$f(n)$ का मान परिकलित करें, तो आप पाएँगे कि ये सभी मान अभाज्य संख्याएँ हैं (नीचे के सारणी में देखें).