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गुरुवार, 22 दिसंबर 2016

पुरस्कृत लेख: भिन्नात्मक कलन - 21वीं शताब्दी का मुख्य विषय

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गणिताञ्जलि प्रतियोगिता 2016 में पुरस्कृत लेख
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लेखक: धर्मेंद्र सिंह 'हिन्दुस्तानी'
ग्राम - करसरी, जिला - कासगंज, उत्तर प्रदेश, पिन - 207124
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उच्च कक्षाओं में हमलोग कलन-शास्त्र (calculus) के अंतर्गत अवकलन (differentiation) और समाकलन (integration) की संकल्पना के विषय पढ़ते हैं. यदि $f(x)$ कोई वास्तविक मान बहु अवकलनीय फलन (many times differentiable function) हों, तो हम इसके प्रथम अवकलज $\frac{d}{dx}f(x)$, द्वितीय अवकलज $\frac{d^2}{dx^2}f(x), \cdots$, $n$-वाँ अवकलज $\frac{d^n}{dx^n}f(x)$, इत्यादि ज्ञात कर सकते हैं. इसी प्रकार यदि उपरोक्त फलन बहु समाकलनीय हो, तो इसके प्रथम समाकल $\int_0^{x}f(x_1)dx_1$, द्वितीय समाकल $\int_0^{x}\int_0^{x_2}f(x_1)dx_1dx_2, \cdots$, $n$-वाँ समाकल $\int_0^{x}\int_0^{x_n}\cdots \int_0^{x_2}f(x_1)dx_1dx_2\cdots dx_n$, इत्यादि ज्ञात कर सकते हैं.

इस प्रकार हम देखते हैं कि किसी फलन को $n$- बार अवकलित या समाकलित करना संभव हो सकता है. यहाँ पर n एक धनात्मक पूर्णांक है. अब प्रश्न यह उठता है कि क्या हम $n$ का कोई स्वेच्छ वास्तविक मान लेकर $\frac{d^n}{dx^n}f(x)$ को कोई निश्चित अर्थ प्रदान कर सकते हैं, ताकि यह अर्थ $n$ के धन पूर्णांक होने की स्थिति में पहले जैसा ही अर्थ व्यक्त करें, और कुछ बीजीय घातांकी नियम लागू हो सके ? उदाहरण के लिए, क्या हम $\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}f(x)$ को कोई निश्चित अर्थ प्रदान कर सकते हैं, जिससे कि $\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}f(x) = \frac{d}{dx}f(x)$ अर्थपूर्ण हों ? यह प्रश्न इस प्रेक्षण पर आधारित है कि $x^{1/2}x^{1/2} = x$. इसी प्रकार का प्रश्न हम समाकलन के लिए भी कर सकते हैं. भिन्नात्मक कलन (fractional calculus) में इसी प्रश्न पर विचार किया जाता है.

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